Amazon Managerial Decision Making Research and Analysis

Amazon Managerial Decision Making Research and Analysis

Introduction

In Chapter 1, we saw that managers wanting to make decisions that best serve their objective functions will need to first define the metric fortheir objective function. We argued that the firm’s objective will be to maximize profits, and that managers must make decisions underconditions of either certainty or uncertainty, and might foresee returns that accrue in the current period or in future periods. In the real world,where risk and uncertainty is the norm, and where expenses and revenues are incurred and received both in the present period and into thefuture, the appropriate decision criterion is the expected net present value (ENPV). We also argued in Chapter 1 that decisions will usually haveboth monetary and nonmonetary outcomes that are of interest, or concern, to the decision maker. Accordingly, decision makers will make trade-offs against profit to compensate for the nonmonetary costs or benefits that are associated with the decision. If the psychic pain (disutility) ofnonmonetary costs is greater than the psychic gain (utility) of the nonmonetary benefits, we say there is net disutility associated with thedecision and the decision maker will require additional profit to compensate for the net disutility associated with the decision. Conversely, if thenonmonetary benefits exceed the nonmonetary costs, there is net utility associated with the decision, and the decision maker will be willing togive up some profit to compensate for the nonmonetary aspects of the decision.

Risk causes disutility for most business decision makers and so they will want to be compensated for bearing risk. In this chapter we integraterisk analysis into the decision-making process and consider several decision criteria that adjust the monetary outcomes of a decision for the riskthat is associated with those returns. In Chapter 1, we noted that the ENPV criterion is only really appropriate if the manager continually makesthe same type of decision in the same environment, such that the manager could reasonably expect that over many trials the aggregateoutcome would be approximately equal to the sum of the individual ENPVs. Approximately half the time the actual outcome will be higher thanthe ENPV and the other half of the time the actual outcome will be below the ENPV. Although facing risk in each specific decision, therepetitiveness of the decision allows the chances of below-average outcomes to be offset by above-average outcomes, and over many similardecisions the total profit outcome would approximate the sum of the ENPVs of all the decisions.

But in many business situations the manager faces a variety of different decisions from day to day and most types of decision are not repeatedoften enough to make the ENPV criterion an appropriate decision criterion since it does not adjust for differing degrees of risk associated withindividual decision problems. In this chapter, we recognize that the decision maker will want to incorporate risk analysis into the decision-making process for those decisions that are not repeated frequently and will want to adjust each decision to take account of the degree of riskinvolved in each particular decision.

How Is Risk Measured?

Standard Deviation

Risk can be expressed as a measure of the chance that the value of the ENPV of adecision will not be the actual outcome. To calculate a measure of variability of thepotential outcomes relative to the ENPV we need to understand the statistical conceptknown as the standard deviation, which is a measure of the deviations of the possibleoutcomes from the central tendency (or mean) of those possible outcomes. First notethat the ENPV is a measure of central tendency of the potential outcomes—indeedthe ENPV is the weighted mean (where the weights are the probabilities of occurring)of the possible outcomes. The mean of any series of numbers has an associatedstandard deviation, which indicates the extent to which the mean value isrepresentative of all the data points that enter the calculation of that mean. Thestandard deviation is higher if the possible outcomes are more widely dispersedaround the mean value, or is lower if the actual outcomes lie relatively close to themean value. To calculate the standard deviation, the deviations of each data pointfrom the mean are squared and then summed to find the variance of the distribution,and the standard deviation is then simply the square root of the variance. In effectthe standard deviation indicates the average absolute deviation of the outcomes fromthe mean outcome. Thus, the standard deviation provides a suitable measure of therisk that the ENPV will not be attained.

Any good calculator can instantly deliver the standard deviation of a series of simple numbers. Similarly, it is easy in an Excel spreadsheet totype (for example) = stdev(c2-c24) into a vacant cell to indicate the range of data points (cells c2 to c24 in this example) over which thecomputer can calculate the standard deviation. Note that it is more complex to calculate the standard deviation of a probability distribution. Weneed to (1) find the ENPV of that distribution; (2) subtract each outcome from the ENPV to find the deviations from the mean; (3) weight eachdeviation by its probability of occurring; (4) sum these weighted deviations to find the variance; and (5) take the square root of the variance tofind the standard deviation. This is demonstrated for a simple case in Table 2.1, in which we suppose that three outcomes are possible (column1) with probabilities as shown (in column 5), which you can verify gives an expected value of 10 as shown (in column 2). For simplicity here, weassume the cash flows all take place in the present period such that ENPV = EV.

Table 2.1: Calculation of the standard deviation of a probability distribution
Possibleoutcome($)	Expectedvalue ($)	Deviation of possible outcomefrom the mean (EV) outcome	Squared deviation fromthe mean outcome	Probability of eachpossible outcome	Weighteddeviation fromEV
−10  10  30	10 10 10	−20  0 20	400   0 400	0.25 0.5  0.25	100   0 100
				Variance =	200
				Std. Deviation =	14.14

© Photodisc/Thinkstock

To find whether the wins offset the losses,variance or standard deviation can beused to measure the risk associated withuncertain outcomes.

Half of the variance around the ENPV is quite desirable, and of course I am referring to the outcomesthat are greater than the ENPV. This part of the risk is known as the upside risk and represents betteroutcomes than can generally be expected in multiple trials of this decision. Some risk analysts havesuggested that no one is worried about these positive deviations from the mean because we would"laugh all the way to the bank" if one of these were to occur. On the other hand, the downside riskrepresents the outcomes that are worse than the ENPV, and we definitely worry about these.Accordingly, some analysts have suggested that we calculate only the semi-variance of the outcomes byincluding only those outcomes with negative deviation from the ENPV to measure only the downsiderisk. Although intuitively appealing, the semi-variance approach is not commonly used because it ignoresthe upside risk; after all, if "sometimes you win and sometimes you lose," you need to know the extentof the wins to see whether they would offset the losses. Thus, we tend to use the standard deviation asour measure of the risk associated with uncertain outcomes. So, now we have a measure of risk, butbefore we adjust for risk, we need to consider the decision maker’s attitude toward risk.

Attitudes Toward Risk

People have different attitudes toward risk. Some people seem to enjoy doing risky things, while othersare extremely unhappy to be exposed to risk, and, of course, there are those who do not seem to care.Indeed, individuals will have one of three attitudes toward risk: risk preference, risk aversion, or riskneutrality. Risk preference means that the individual prefers more risk to less risk, with other things(such as reward or profit) being equal. A risk preferer would therefore choose the riskier of two equallyprofitable investments. This is only rational behavior if the individual’s objective function is to maximizerisk rather than to maximize profit, or if the person is so rich that he or she places very little value on the money he or she might lose whileplacing more value on the thrill he or she will get by taking the risk; perhaps high-roller gamblers might fit this profile. Risk preferers might getlucky and have a series of wins (despite the odds) but sooner or later will be bankrupted if they continue to make large ENPV decisions thisway.

Risk aversion means that the individual prefers less risk to more risk, other things being equal, and will therefore choose the less risky of twoequally profitable investments. Risk-averse individuals may choose the more risky alternative if they expect to be adequately compensated forthe additional risk undertaken. They weigh up the monetary trade-off of the extra income against the psychic dissatisfaction of additional riskbearing and make their decision between less-risky-but-less-rewarding investments and more-risky-but-more-rewarding investments. Finally,some individuals are risk neutral, not caring about risk, in which case they do not need to adjust their decisions for risk. Risk neutrality canoccur due to a genuine lack of concern for risk and subsequent losses (which makes it almost as dangerous to your wealth as risk preference),or due to the repetition of the same or similar decision many times, so that on any one occasion the decision makers can act as if they are riskneutral. Thus, as we have noted, the ENPV measure of profit is appropriate if the same (or sufficiently similar) decision is to be repeated manytimes. In this situation the decision makers can act as if they are risk neutral for any one of those decisions.

© iStockphoto/Thinkstock

Entrepreneurs, skydivers, and motorcyclists all voluntarily take riskswith the expectation that the utility of the reward will outweighthe disutility of the risk.

We need to clarify a few more terms that are commonly used in discussionsof risk. People often talk about entrepreneurs, for example, being risk seekers.Risk seekers seek to do risky things (like entrepreneurship, skydiving, andmotor racing), because they expect that risk and return are positivelycorrelated: The higher the risk the higher the return. Whether the return issimply monetary, or is both monetary and nonmonetary (i.e., includes psychicsatisfaction), most risk seekers only take the risk if they expect the payoff tobe greater to compensate them for risk bearing. Risk seekers are therefore notrisk preferers but are actually risk-averse.1 Another term that probably needsclarifying is risk taker. We are all risk takers, like it or not. Every day we aresubject to the risks of global warming, asteroids, tsunamis, earthquakes, globalfinancial crises, traffic accidents, and physical violence, to name just a fewsources of the risks we continually take. What is important is not that we takerisks but what our attitude is toward taking risks. As you now know, ourattitude either will be risk preference, risk aversion, or risk neutrality,depending on our prior knowledge of the situation and our cognitiveprocessing of the psychic costs and benefits associated with taking specificrisks. We should also distinguish between voluntary risk taking andinvoluntary risk taking. The everyday risks listed earlier in this paragraph areimposed on us by nature or by our fellow man and are borne involuntarily. Risk seekers, however, take risk voluntarily in the expectation thatthe utility of the reward will outweigh the disutility of the risk. Thus entrepreneurs, skydivers, racing drivers, and business decision makersvoluntarily undertake risky projects and make risky decisions even though they are averse to risk.

Degrees of Risk Aversion

Risk aversion can range from almost zero degrees of risk aversion (i.e., being almost risk neutral) to being extremely risk-averse. For someonewho is slightly risk-averse, bearing risk causes relatively little psychic dissatisfaction. We say they are highly tolerant of risk. People like this willrequire only a relatively small amount of monetary compensation for bearing additional risk. For others, bearing risk causes much more psychicdissatisfaction. We say they are highly intolerant of risk—they will try to avoid voluntary risk taking as much as possible. For these people, itwill require much greater monetary compensation to induce them to accept additional risk. Since different decision makers exhibit differentdegrees of risk aversion (or conversely, risk tolerance), the extent to which they will want to adjust their decision for risk will differ. Accordingly,we must take into account the decision maker’s degree of risk aversion as well as the extent of risk involved in any particular decision.

Risk Perception

Similarly, each person might perceive risk differently. Individuals perceive the risk in a decision situation more or less accurately depending ontheir prior knowledge and their cognitive biases. Greater prior knowledge of the situation, or greater information search activity,2 may providethe decision maker with useful information that others do not have, such that she might (correctly) say the situation is not very risky whileothers might say it is highly risky because of their ignorance of the situation. The old saying that "fools rush in where angels fear to tread"reflects the perception of little or no risk by those who have less knowledge about the situation compared to those who have more knowledge.Next, a cognitive bias such as overconfidence may cause one person to overlook risks that a less confident person might perceive because thelatter looks more carefully into the situation or spends more time and money on information search activity to reveal the hidden dangers.Another cognitive bias is the tendency of decision makers to use heuristics, or simplistic decision rules. While economizing on time and searchcosts, heuristics could actually increase the decision maker’s exposure to risk, since they consider only some of the information that ispotentially available. For example, entrepreneurs have been shown to be more overconfident and to use heuristics more than employedmanagers of firms (Busenitz & Barney, 1997).3 When others see entrepreneurs taking extraordinary risks they often presume that theseentrepreneurs must be highly tolerant of risks, when in fact many entrepreneurs are highly risk-averse; they do indeed take greater risks, butthis may be because they have better information, have stronger desire for income, or they did not perceive some of the risks in the first place.

                                      

 2.1 

 Adjusting for Risk Using the Certainty Equivalent 

The certainty equivalent of a decision is the amount of money, available with certainty, that a person would consider equivalent to theexpected value of a risky decision. In this section, we will introduce risk–return trade-off curves and show how these differ according to thedecision maker’s degree of risk aversion. This will allow us to demonstrate that different individuals typically have different certainty equivalents.

Risk–Return Trade-off Curves

As noted, risk causes disutility to be incurred by the risk-averse decision maker. We have argued that people with different degrees of riskaversion will require different amounts of compensation to induce them to bear an additional quantum of risk. Using simple graphical analysiswe can depict the risk–return trade-off curves of a particular risk-averse individual (whom we shall call Mr. X) shown in Figure 2.1.

Figure 2.1: Risk–return trade-off curve for risk-averse decisionmaker, Mr. X.

Suppose that Mr. X must decide where (at which location) he will build a new restaurant. The points A, B, and C shown in Figure 2.1 relate tothree different risk–return combinations that represent different restaurant locations. We depict these three decision alternatives with riskmeasured by standard deviation (SD) and return measured by ENPV. Their risk and return outcomes differ because of differences in populationdensity, passing traffic, proximity to public transport, and so on. As you can see, decision A has ENPV = 100 and SD = 50; decision B has ENPV =100 and SD = 30; and decision C has ENPV = 60 and SD = 30. It should be immediately clear that Mr. X, and indeed any risk-averse profit-maximizing decision maker, will prefer B to A, because A is equally profitable but has more risk (higher SD) than B. Similarly, all risk averters willprefer B to C, because these two options have the same amount of risk but B is more profitable (higher ENPV) than C.

We now know that decision B is the best choice for Mr. X, but which would he consider to be the second-best location? In fact, I haveprejudged the answer by drawing the risk–return (RR) curves such that A and C lie on the same RR curve (shown as RR2) so the answer is thatthey are both equal in the case depicted (i.e., reflecting Mr. X’s feelings about risk and return). Each RR curve depicts those combinations of riskand return that give the same level of utility. These curves are more commonly known as indifference curves, which are lines drawn to passthrough combinations of variables among which the decision maker is indifferent, that is, receives the same amount of utility.4 Thus, Mr. X willbe indifferent between A and C, or indeed any other combination of risk and return that lies on RR2. Now, since point B is preferred to bothpoint A and C, it follows that every combination of risk and return on RR3 is preferred to any combination on RR2. Similarly, any risk–returncombination on RR1 is considered inferior to any combination on any higher indifference curve. Thus, we can say that any point on a higherindifference curve will be preferred to any point on a lower indifference curve and that the direction of preference is shown by the arrow; morereturn is preferred when risk is the same, or conversely, less risk is preferred when return is the same, and the decision maker preferscombinations that have both more return and less risk. Note that we do not need to know the actual value to the utility represented by theRR1, RR2, and RR3 curves, we just need to know the order of preference—thus indifference curve analysis is concerned with ordinal (i.e., simplyin order) preferences rather than cardinal (i.e., measurable) preference differences.

The RR indifference curves demonstrate the decision maker’s trade-off between risk and return. This trade-off is also known as the marginalrate of substitution (MRS) between risk and return, which is equal to the amount of risk the decision maker will accept for an additionalmeasure of return. This trade-off is indicated by the slope of the RR curve, which is equal to the "rise over the run." In Figure 2.1, we saw thatthe decision maker considers points A and C to be equivalent. Now if Mr. X was asked to change from C to A, we can see that he wants 40more units of return (the rise from 60 to 100) to compensate for the 20 extra units of risk (the run of 30 to 50). Thus, the slope of the RR2indifference curve between points C and A is 40/20 = 2 and this value is rather typical of this individual’s MRS at other risk–return combinationsin the vicinity of decisions A, B, and C.5

Figure 2.2: Differing degrees of risk aversion for twodifferent decision makers

In Figure 2.2, we show the RR curves of two other individuals (Mr. Y and Ms. Z) who have quite different degrees of risk aversion, and thusquite different marginal rates of substitution. These people are considering restaurant locations A and C, because location B has already beentaken by Mr. X. Note that Mr. Y prefers decision A because, for him, it lies on a higher RR indifference curve. Conversely, Ms. Z prefers decisionC because, for her, it is on a higher indifference curve.

Looking carefully at Mr. Y’s indifference curves we notice that his risk–return trade-off (i.e., his MRS) is relatively low in the vicinity of point C; tomove from 30 units to 50 units of risk (along RRY1) he would require only about $5 more (from $60 to about $65) to compensate for the 20additional units of risk. Thus, his MRS for return and risk is 5/20 = 0.25. Because decision A offers $40 more return for those 20 extra units ofrisk, it is utility maximizing for him to take decision A rather than decision C. Conversely, the MRS for Ms. Z, moving along RRZ2, is about 4 (i.e.,a $40 change in return from $60 to $100 is necessary to compensate for a 10 change in risk from 30 to about 40, along RRZ2), so the additionalrisk associated with decision A (20 units) is not compensated for by the additional 40 units of return offered by A, and thus Ms. Z prefersdecision C.

What we have demonstrated is that risk-averse decision makers will make different decisions according to their degree of risk aversion. Notethat both Mr. Y and Ms. Z would have preferred restaurant location B if it were still available, since its risk–return outcomes would fall on ahigher indifference curve for both of them. Once that decision option was gone, they had different preferences for the remaining two options.We saw that Mr. X moved first and chose his preferred alternative, which was location B. Subsequently, Mr. Y and Ms. Z chose differently,because their risk–return trade-offs were different. Mr. Y, being less risk-averse, chose location A, while Ms. Z, being more risk-averse, choselocation C.

The Certainty Equivalent as a Decision Criterion

The analysis above allows us to consider the certainty equivalent (CE) of a risky decision. The CE of a risky decision (or gamble) is the amount ofreturn, available with certainty (i.e., zero risk), that the decision maker will consider is equivalent to the risk–return combination of the riskydecision. Looking at Figures 2.1 and 2.2, you will see that the vertical axis in each figure represents a series of levels of return (ENPV) that havezero risk attached to them. Now notice that each of the indifference curves terminates at the vertical axis, at a point of zero risk, thus revealingthe CEs for all of the risk–return combinations on each indifference curve.

© Stockbyte/Thinkstock

Put in simple terms, the certaintyequivalent factor, which is the ratio of theperceived value of the risk-free alternativeto the risky alternative, expresses howmany cents in the dollar a decision makerwould consider to be equivalent to therisky decision.

In Figure 2.1 for example, for Mr. X the CE of decision B seems to be about 80, while the CEs of bothdecision A and C seem to be about 40 (i.e., where the indifference curves hit the vertical axis). Thus,for Mr. X the CE of decision B is much greater than the CE for either A or C, so he prefers option Bover the other two options. In Figure 2.2 we see that the CE for Mr. Y seems to be about 85 fordecision A and 55 for decision C. Finally, for Ms. Z, the CE is about 22 for decision C and much lowerfor decision A. In each case the individual prefers the decision alternative with the highest certaintyequivalent.

The Certainty Equivalent Factor

The Certainty Equivalent Factor (CEF) is the ratio of the perceived monetary value of the risk-freealternative (i.e., the CE) to the risky alternative (i.e., the ENPV). In the case of Mr. X, the CEF fordecision B is 80/100 = 0.8. The CEF effectively tells us what proportion of the risky ENPV would beconsidered equivalent to the risky ENPV, if it were risk-free. Put another way, the CEF tells us howmany cents in the dollar, available with certainty, the decision maker will consider to be equivalent tothe risky decision. Thus, Mr. X values decision B at 80% of the dollar value of the ENPV. So, the CEcriterion will tell us not only which is the preferred alternative but will also tell us how many cents inthe dollar would be just sufficient to trade for the risky decision, which tells us just how risk-averse thedecision maker is. In this case Mr. X is willing to take a 30% reduction in monetary value tocompensate for the risk involved in decision B.6

Notice that the CE values are different for each individual—we cannot compare the psychic value of either risk or return across people. That iswhy the RR curves are labeled differently for the three people depicted: Each person makes his or her own, personal, internal psychic evaluationof the disutility of risk and the utility of income and makes his own decision accordingly.

Of course, it is unrealistic to think we would plot out risk–return indifference curves for all decision makers to see which decision they willchoose. The graphical model of the decision-making process that we have utilized here is primarily intended to facilitate your learning aboutrisk–return trade-offs in decision making. But note that the model has brought us to the point of a rather simple decision rule for decisionmaking under risk and uncertainty; namely, risk-averse managers should choose the decision alternative that has the highest certaintyequivalent. A little introspection on the part of decision makers will lead them to an intuitive preference for one decision alternative over theothers, which will reflect their personal risk–return trade-off.

 2.2 

 More Transparent Decision Rules for Managers 

If decision makers are self-employed and are the sole owner of their own business firms, they can make their business decisions this way, but ifthey are employed managers of firms that are owned by other shareholders they will have to be more accountable to those shareholders forthe decisions they make, and, accordingly, will have to adopt a more transparent decision rule than, "I made that decision because it made mefeel better." Thus, we need to consider some decision rules that can be argued somewhat more objectively by managers to shareholders.

The Maximin Decision Rule

When the shareholders of a firm are risk-averse, as we expect they are, they will want managers to adopt decision-making rules or policies thattake the risk associated with different decisions into account.7 One such decision rule is maximin—that is, choose the alternative that has thehighest (maximal) worst (minimum) outcome. In the examples discussed earlier, we were concerned with the standard deviation of the potentialoutcomes associated with restaurant locations A, B, and C. The maximin rule is concerned with only one of those potential outcomes for each ofA, B, and C—the worst one. It is based on the principle of affordable loss—can the firm afford to suffer the worst outcome associated with arisky decision? Shareholders will not want the manager to make decisions that could possibly bankrupt the firm (and cause shareholders to losetheir investment), so they may put pressure on managers to make relatively conservative decisions.

© Neil Leslie/Getty Images

Simple and transparent, the maximincriterion is appropriate for risk-aversepeople making risky decisions and is aneffective way to avoid incurring losses.

As an example of the maximin decision rule, consider the choice between an investment Project A andan investment Project B. For Project A the initial investment is $1 million in year 1 with possible finaloutcomes in year 2 ranging from a loss of $200,000 to a profit of $5 million. Project B has an initialinvestment cost of $2 million with possible outcomes in year 2 ranging from a loss of $500,000 to aprofit of $10 million. For the maximin decision rule, we simply compare the two minimum outcomes andtherefore choose Project A because its worst outcome is a loss of $200,000 compared to Project B’sworst outcome, which is a loss of $500,000. If the worst outcome were to occur, the firm would bebetter off taking a hit of $200,000 rather than $500,000.

As you can see, the maximin criterion is appropriate for risk-averse people making risky decisions thatare not repeated enough times to allow the law of averages to work out in the firm’s favor. Thisdecision-making rule is designed to be a simple and very transparent way to avoid incurring losses thatcannot be tolerated by the firm and its shareholders. But, by refusing to consider the other potentialoutcomes it may be a very poor decision criterion. What if the probability of Project B’s worst outcomeoccurring was only 10% and the probability of Project A’s worst outcome was 40%? In that case, bytaking decision A the managers have chosen to risk a worst outcome with four times the chance ofoccurring than the worst outcome of Option B. Or, what if the other possible outcomes for Project Awere positive but relatively small while the other outcomes for Project B were positive and relativelylarge? The maximin criterion does not consider these other outcomes at all.8 So let’s look at somedecision rules that do.

Coefficient of Variation Decision Rule

The coefficient of variation (CV) is a statistic of a probability distribution and is calculated as the ratio of the standard deviation to the mean.Going back to the example of restaurant location A, B, and C in the earlier decision-making problem, we can calculate the CV of A as 50/100 =0.5; for B it is 30/100 = 0.3; and for C it is 30/60 = 0.5. In effect the CV criterion provides a measure of the risk per dollar of return, and thedecision rule is to choose the option that has the smallest CV. So according to this rule, Mr. X would consider locations C and A as equal butinferior to location B, thereby agreeing with his certainty-equivalent-based decision. For Mr. Y and Ms. Z, the CV rule would say the tworemaining options are equal, but we saw that Mr. Y preferred option A (higher CE for him) while Ms. Z preferred option C (higher CE for her).Thus, the CV criterion does not take into account the differing degrees of risk aversion that individuals may have and is, therefore, an inferiordecision rule for individuals making decisions when taking into account only their own risk–return preferences. But for managers makingdecisions on behalf of shareholders, the CV criterion may be more suitable because some shareholders (like Mr. Y) will be less risk-averse whileothers (like Ms. Z) will be more risk-averse. On average, shareholders might be happy enough with the CV decision rule, and they can always selltheir share in this firm and buy shares in a more (or less) conservative alternative business if they want to.

In Figure 2.3 we show the CV decision rule as it applies to the restaurant location decision problem. The CVs associated with decision A and Care equal to 0.5 in both cases, and the CV associated with decision B is 0.3. Notice that the slope of the CV lines emanating from the origin(these lines are known as rays) are each equal to the reciprocal of the CV value, since the slope is equal to the rise (ENPV) over the run (SD),while CV is equal to the run (SD) divided by the rise (ENPV). Also note that in effect the CV rays are like indifference curves since everycombination on a particular CV ray is equally preferred. These CV rays have constant MRS between risk and return, but as we have seen,individuals do not. Their risk–return indifference curves are concave from above, exhibiting increasing MRS as more and more risk is taken on.As we saw in the case of our three restaurateurs, individual preferences might agree with the CV criteria (as Mr. X did) or not. While both Mr. Yand Ms. Z agreed that location B was the best location, Mr. Y ranked location A superior to C while Ms. Z ranked location C superior to A. Thus,the CV criterion is not generally suitable for individual decision making.

Figure 2.3: The coefficient of variation decision criterion

As a more complex application of the CV criterion, let us now reconsider the investment Project A and Project B decision introduced above. InTables 2.2a and 2.2b we show the probability distribution of outcomes associated with these projects and calculate the ENPV, SD, and CV foreach project (behind the scenes I have used an Excel spreadsheet to calculate these numbers). You will see that I have assumed a discount rateof 10% and that the initial cost is paid at the end of year 1 while the possible outcomes (cash inflows and outflows) are realized at the end ofyear 2. Whereas earlier we selected Project A using the maximin decision criterion, by applying the CV criterion we find that Project B ispreferred. Although it is riskier (SD = 1.4374 compared to 1.0414), its ENPV is much higher ($3.5124 million compared to $0.7603 million) suchthat the CV ratio is only 0.4092 for Project B compared with 1.3697 for Project A.

Table 2.2a: Calculating the coefficient of variation for Project A
(1) Initial Costyear 1(millions)	(2) Presentvalue of initialcost	(3) Year 2outcomes(millions)	(4) Present valueof year 2 outcomes	(5) Net presentvalue (millions)	(6) Probability ofyear 2 outcomes	(7) ENPV ofoutcomes(millions)
	DF = 0.9091		DF = 0.8264
		10	8.2644	6.4463	0.4	2.5785
−2	−1.8182	5	4.1322	2.3140	0.5	1.1570
		−0.5	−0.4132	−2.2314	0.1	−0.2231
					ENPV =	3.5124
					SD =	1.4374
					CV =	0.4092

Table 2.2b: Calculating the coefficient of variation for Project B
(1) Initial costyear 1(millions)	(2) Presentvalue of initialcost	(3) Year 2outcomes(millions)	(4) Present valueof year 2 outcomes	(5) Net presentvalue (millions)	(6) Probability ofyear 2 outcomes	(7) ENPV ofoutcomes(millions)
	DF = 0.9091		DF = 0.8264
		5	4.1322	3.2231	0.3	0.9669
−1	−0.9091	2	1.6529	0.7438	0.3	0.2231
		−0.2	−0.1653	−1.0744	0.4	−0.4298
					ENPV =	0.7603
					SD =	1.0414
					CV =	1.3697

Thus, the CV decision criterion is an extension of the ENPV profit-maximizing rule and is appropriate when (1) outcomes are uncertain; (2) cashflows occur beyond the current time period; (3) similar decisions are not made repeatedly; and (4) managers are risk-averse (hopefully reflectingtheir shareholder’s preferences). Note that in this example the CV criterion agrees with the ENPV criterion but disagrees with the maximincriterion, which neglected most of the information available and made the decision based simply on the best of the worst outcomes. The CVcriterion is thus a more sophisticated decision criterion that, while not generally suitable for individual decision making, does have value fordecisions made by managers of firms where the decision made must be justified to risk-averse shareholders on some objective basis. Moreover,it can be argued that in the context of managerial decision making within the firm, the linear indifference rays implied by the CV criterion mightbe a sufficient approximation of shareholders’ preferences in aggregate since these shareholders are free to build a portfolio of shares (indifferent companies) that best serves their overall risk–return preferences. The CV decision rule is transparent and easily communicable toshareholders. If they want to hold shares in a more- or less-risk-taking firm they are usually free to sell their shares in this firm and buy sharesin another firm that better fits their risk preferences. And, in any case, they can buy shares in a variety of firms such that the overall riskexposure of their investment portfolio better suits their risk and return preferences.

The ENPV Criteria Using Risk Premiums

Another commonly used method to adjust uncertain cash flows for risk is to adjust the discount factor to reflect the degree of risk. We do thisby adding a risk premium to the discount factor such that projects with higher risk are discounted at higher opportunity discount rates. A riskpremium is an additional amount that is proportionate to the additional risk perceived. Recall that we defined the opportunity discount factoras the rate of interest that could be earned on an alternative opportunity of equal risk. When the decision alternatives are clearly not equallyrisky it follows that their opportunity discount rate should not be the same for each alternative.

© iStockphoto/Thinkstock

Government bonds are regarded as the ultimate risk-free securitybecause repayment is absolutely certain.

At this point it is appropriate to examine the two main component parts ofthe opportunity discount rate (ODR). The first main part is the risk-free rate ofreturn that one could earn on a loan that was absolutely certain to be repaid,for example, the purchase of government bonds. Although the governmentmay change from time to time, the newly elected politicians would respectthe previous government’s obligation to repay lenders who had boughtgovernment bonds, so government bonds are regarded as the ultimate risk-free security.9 The risk-free rate is made up of two subparts, the real rate ofinterest and the premium for expected inflation. The real rate of interest isthe rate that would cause the supply and demand for loanable funds to beequal in a market for funds without risk and without inflation. But whenlenders expect inflation to occur, they expect the purchasing power of thefunds returned (after the loan is settled) to be lower than the amount loaned.For example, if prices are expected to rise by 5% over a year, the goods andservices that could be purchased with $100 at the start of the year willprobably cost about $105 at the end of the year. Thus, the inflation premiumcharged needs to be about 5% to compensate the lender for the loss of purchasing power due to inflation, in this case where the expected rateof inflation is 5% per annum.10

The second main part of the ODR is the risk premium, which is the additional return the lender will require to cover the risk that the borrowermight default on the loan and not pay the money back. To estimate the appropriate risk premium, the lender must ask, "What is the probabilitythat the borrower will not repay the loan?" To answer this question, the lender (like the insurance manager in Chapter 1) must consider whatproportion of people, in roughly the same risky situations, have previously defaulted on their loans. Suppose the answer is 20%. That meansthat one out of five borrowers did not pay the lender back the loaned funds and the interest that should have been earned on those funds.Because the lender cannot tell in advance which one in every five borrowers will be unable to repay the loan, the lender must set a riskpremium on all loans that is high enough to allow the funds received back (from borrowers who do in fact repay their loans) to compensate thelender for the funds lost due to borrowers who cannot repay the loan. In this case, since only four of the five are expected to repay, all will becharged a 25% risk premium to ensure that the four borrowers repaying the loan allow the lender to recoup 4 x 25% = 100% of the loanadvanced to the borrower who ultimately defaults. The formula for the risk premium is thus the ratio of the probability of default (PD) to itscomplement, the probability of repayment (PR). That is, PD/PR. In Table 2.3, we show the risk premiums for a range of default probabilities, andyou can see that the risk premium increases exponentially as the probability of default increases.

Table 2.3: Default risk and calculation of the applicable risk premium
Probability of Default P D	Probability of Repayment P R	Risk Premium P D/P R
5%	95%	5.26%
10%	90%	11.11%
20%	80%	25.00%
30%	70%	42.85%
40%	60%	66.67%
50%	50%	100.00%

Now let’s revisit the Project A versus Project B decision that we considered above. Using the CV criterion we adjusted for risk by finding the risk-per-dollar-of-return and we selected Project B despite it being more risky (higher SD). But note that the expected cash flows of both projectswere discounted by the same 10% discount factor. Now that we know Project B is more risky, we should discount it by a higher rate. Supposethat 10% was indeed the correct ODR for Project A, being the real rate of interest (say 2%) plus an expected inflation (say 3%), plus a riskpremium of 5%. Also suppose that for Project B the appropriate risk premium is about 15%, causing the ODR to be 20%. In Table 2.4 werecalculate the ENPV for Project B.

Table 2.4: Recalculating the ENPV for Project B, with ODR = 20%
(1) Initial CostYear 1 (millions)	(2) Presentvalue of initialcost	(3) Year 2outcomes(millions)	(4) Present value ofYear 2 outcomes	(5) Net presentvalue (millions)	(6) Probabilityof outcomes	(7) ENPV ofoutcomes(millions)
	DF = 0.8333		DF = 0.6944
		10	0.6944	5.2778	0.4	2.1111
−2.000	−1.6667	5	3.4722	1.8056	0.5	0.9028
		−0.5	−0.3472	−2.0139	0.1	−0.2014
					ENPV =	2.8125
					SD =	1.2078
					CV =	0.4295

Now compare the ENPVs of the two Projects A and B. Of course the ENPV is still $760,300 for Project A, but it is now about $2.8 million forProject B (down from $3.5 million) due to being more heavily discounted. So, Project B is still the preferred alternative using the risk-adjustedENPV decision criteria. Also note that while the CV for Project B has increased due to the higher ODR, the CV criterion also still favors Project Bover Project A.

A Simplification for More Complex Situations

In practice, we are typically confronted by more complex situations than the above examples. Fortunately, we can simplify these examples byassuming only three outcomes (high, medium, and low) in each year and by assigning what seem to be reasonable "guesstimates" of thedifferent monetary outcomes and of the probabilities of these different outcomes occurring. If these estimates are inaccurate, scrutiny by otherswho have different information will lead us to revise them to more accurately reflect the consensus of opinion about what the values shouldmore likely be.

If we suppose that the possible outcomes are symmetric around the medium outcome each year, and also suppose the probability distributionsare symmetric around the medium outcome, then a useful simplification becomes possible. To find the ENPV of the decision alternative weneed only add the medium NCF outcomes in each year and subtract the initial cost outlay. This is because the high outcomes would be exactlyoffset by the low outcomes when they are symmetric around the medium outcome. This simplification is hardly necessary for the relativelysimple two- and three-year time horizons that we have considered, but think about a decision with a five-year horizon—with a NCF streamstretching over five years with high, medium, and low outcomes in each year. This would involve 35 = 243 terminal branches on the decisiontree! Although one could build a very large spreadsheet or write a computer program to do all the hard work, it is generally not necessary to doso. This simplification will give a sufficiently robust indication of the ENPV as long as there is not substantial asymmetry of the high, medium,and low outcomes. For the most part, asymmetry one way (e.g., toward the high outcome) in one year will be offset by asymmetry the otherway (toward the low outcome) in another year. Next, the future outcomes and their probabilities are estimates anyway, and these estimates areincreasingly like guesswork in the "out years" (i.e., beyond the present period), so it is false accuracy to place too much credence on the precisevalue we find for the ENPV.

Thus, it is generally a sufficient approximation to consider only the medium NCF outcome for each of the out years when the time horizon isthree to five years or longer. For decision alternatives that have longer time horizons the "sum of the medium outcomes" approach is likely tobe a sufficient approximation for the ENPV of the decision alternative.

 2.3 

 Most-Likely Scenario and the Best- and Worst-Case Scenarios 

What we have been calling the medium outcome is alternatively called the most-likely scenario. You will note that it had the highest probabilityin each year, so it is indeed more likely to occur than the high (best-case) or the low (worst-case) scenario. Now we can view the mediumoutcome as being representative of the middle part of the probability distribution, and similarly view the high outcome as being representativeof the upside-risk side of the probability distribution and the low outcome as being representative of the downside-risk side of the probabilitydistribution. Thus, the point estimates of high, medium, and low should be viewed as representative of the three regions of the probabilitydistribution.

The Normal Distribution

We can illustrate these scenarios in the context of the special case of the normal distribution.11 The first property of a normal distribution isthat it is symmetric around its mean value. It is often called a bell curve because it looks somewhat like an old-fashioned bell, as displayed inFigure 2.4. As you would guess, the mean value of the normal distribution is also the median (or the 50th percentile) value. That is, 50% of theobservations lie above, and 50% lie below, the mean value. The standard deviation of a normal distribution is such that almost all (about 99.7%)of the outcomes lie within plus or minus three standard deviations from the mean. Thus, the second property of a normal distribution is thatthe bell curve is just tall enough to cause 99.7% of all outcomes to lie within plus or minus three SDs from the mean. Moreover, the shape ofthe bell curve is such that 95% of all outcomes will lie within plus or minus two SDs from the mean, and 68% will lie within plus or minus oneSD from the mean.

Now notice that the mean value (i.e., the ENPV) of the probability distribution effectively represents the middle part of the distribution, or 68%of all outcomes. It is most likely (with 68% probability) that the actual outcome will fall within the range of plus or minus one SD from themean outcome. With repeated trials of the same decision we would expect the actual outcome to sometimes be more than the mean, andsometimes less, such that the average outcome over many trials would be the ENPV.

Note that what we call the best-case scenario is not the absolute best outcome out at the extreme right-hand side of the probabilitydistribution. Instead it is representative of the range of outcomes that are more than one SD above the mean. In Figure 2.4, we have depictedthe best-case scenario as the outcome that roughly bisects the area under the curve to the right of the outcome that is more than one SDabove the mean. Similarly, the worst-case scenario is not the worst possible outcome at the extreme left of the probability distribution, butrepresents all the outcomes that have values more than one SD below the mean outcome, so we position it at approximately the point thatbisects the area under the curve to the left of the outcome that is one SD below the mean outcome.

Figure 2.4: The properties of a normal distribution

Since the most-likely scenario (MLS) represents 68% of the outcomes (when the outcomes are normally distributed) the best-case scenario (BCS)must represent half of the remainder (i.e., 16%) and the worst-case scenario (WCS) must represent the other half of the remainder (16%). Beaware that these specific probabilities for the high, medium, and low outcomes may or may not be appropriate for particular business decisionproblems. If you have information that indicates that the outcomes seem likely to be approximately normally distributed around the mean, thenthese probabilities will be appropriate. On the other hand, you might have information that indicates that the probability distribution isdefinitely not normally distributed and so you should use the probabilities that seem to be more appropriate.

Skewness of the Probability Distribution

© Biwa Studio/Getty Images

Skewness refers to the degree ofasymmetry of the probability distribution.A distribution that is perfectly symmetricis said to be nonskewed.

Skewness refers to the degree of asymmetry of the probability distribution. A distribution that isperfectly symmetric is said to be nonskewed. But if the bell shape is distorted with more outcomes lyingto the left of the mean outcome, with a longer tail stretching out to the right-hand side, the distributionis said to be positively skewed. In this case the median outcome (the 50th percentile outcome) will lieto the left of (below) the mean outcome. The modal outcome, which is the single outcome with thehighest probability of occurring, will lie to the left of both the mean and the median outcome, as shownin Figure 2.5a. A negatively skewed distribution will have the bulge on the right-hand side of thedistribution with a long tail to the left. The median outcome will lie to the right of the mean outcome,and the modal outcome will lie to the right of both the mean and the median outcomes, as shown inFigure 2.5b.

Figure 2.5a: Positively skewed probability distribution

Figure 2.5b: Negatively skewed probability distribution

The implication of positive skewness for managerial decision making is that while the majority of the possible outcomes will be below the mean,there will be a significant number of upside-risk outcomes that lie more than three standard deviations above the mean (ENPV). Repeated trialsof such decisions would not generate an average outcome equal to the mean outcome, but would tend to average the median outcome (i.e.,below the weighted mean outcome). The probabilities associated with the worst-case, most-likely scenario, and best-case scenario would bedifferent to the normal distribution, of course. Something like 10%, 60%, and 30% might be more appropriate for the worst-case, most-likely-case, and the best-case scenarios, respectively.

Conversely, when the distribution is negatively skewed, the majority of the possible outcomes will be above the mean, but there will besignificant number of downside-risk outcomes that lie more than three standard deviations below the mean. Repeated trials of decisions withnegatively skewed distributions would tend to result in an average outcome that is above the weighted mean (ENPV) outcome. The probabilitiesassociated with the worst-case, most-likely scenario, and best-case scenario would be different to the normal distribution, of course. Somethinglike 30%, 60%, and 10% might be more appropriate for the worst-case, most-likely-case, and the best-case scenarios, respectively.

Kurtosis of the Probability Distribution

Kurtosis refers to another aspect of the shape of a probability distribution, specifically its height. A distribution that is taller than a normaldistribution is said to be leptokurtic and would have more than 68% of the outcomes falling within one SD each side of the mean. Conversely, adistribution that is platykurtic (like a plate, i.e., flatter) would have less than 68% of the outcomes within one SD each side of the mean.Kurtosis of probability distributions is demonstrated in Figure 2.6.

Figure 2.6: Kurtosis of probability distributions

You can see from the shapes of the two probability distributions in Figure 2.6 that for a leptokurtic distribution, the proportion of outcomeslying within one SD from the mean will be substantially above 68%, perhaps 80% in the example shown. This means that the probabilities of thebest-case and worst-case scenarios are relatively small, about 10% each in the situation depicted. Conversely, for the platykurtic distribution, theproportion of the outcomes lying within one SD of the mean would be substantially below 68%, perhaps only 40–50% in the example shown.Thus, the probabilities of the best- and worst-case scenarios might be relatively large, about 30% each in the platykurtic distribution shown inFigure 2.6.

What is the point of all this for the managerial decision maker? First, the decision maker needs to consider whether the probability distributionof outcomes is likely to be approximately normal or not. Remember that many decision situations are likely to deliver approximately normaldistributions of outcomes since the independent actions of many people (e.g., buyers) typically result in a normal distribution. Second, if thedecision maker has reason to believe that the distribution will be skewed to one side or the other, or taller or flatter than a normal distributiondue to factors that he or she suspects are characteristic of the population or sample, the probabilities need to be adjusted in the direction thatreflects the decision maker’s best estimate of the actual shape of the probability distribution. In the absence of any information to indicate thatthe normal distribution is not appropriate, it is usually a good first approximation to assume normality of the distribution. It is useful toremember that unless you have data on the distribution of prior outcomes of similar decisions, assigning probabilities to possible outcomes isan art, not a science—the decision maker needs to think about the situation and go with his or her best guesses. As a decision maker, it isuseful to check your own best guesses against the opinions of others who have knowledge of the decision scenario. Their scrutiny may revealinformation that was not known to you and allow a more accurate probability distribution to underlie your decision. And finally, if this type ofdecision scenario is repeated again and again, data will build up and the probability distribution can be corrected subsequently.