Digital logic design

Given  that  the  definition  of  the  xor  function  as:  Axor  B  =  AB’  +A’BA,  and  knowing   that  the  xor  operation  is  commutative  i.e.  the  ordedr  of  doing  the  xor  operation     is  irrelevant.  Prove  or  disprove  the  following  equations  using  only  an  algebraic   proof:  

(a) X  +  Y  =  X  xor  Y  xor  XY.   (b) a’b  +  b’c  +c’a  =  ab’  +  bc’  +ca’  Note:  Consensus  might  might  be  helpful  

here.     Prove  or  disprove  the  following  identities  of  following  Boolean  equations,  using   algebraic  manipulations  only.    Not  Kmaps  are  allowed  for  this  question.  

(a) Prove  that:  AB  +  BC’D’  +  A’BC  +  C’D  =  B  +  C’D   (b) Prove  that:  AC’  +  A’B  +  B’C  +  D’  =  (A’  +  B’  +  C’  +  D’)(A  +B  +  C  +  D)    

  Which  of  the  following  statements  are  always  true?  Give  counter  examples  to   justify  your  answer.      

1.  If  A  +  B  =  C,  then  AD`  +  BD`  =  CD`     2.  If  A+B+C  =  C  +D,  then  A  +  B  =  D  

  Given  that  A.B  =  0  and  A+B  =1,  first  find  the  relationship  between  A  and  B  given   the  previous  equations.  Then,  use  algebraic  manipulation  to  prove  the  following:  

  (𝐴  +  𝐶).  (𝐴  +  𝐵`).  (𝐴`  +  𝐶)  =  𝐴`.  C  

                                                   

  Given  the  following  Boolean  functions  E  and  F,  as  shown  in  the  truth  table  below:   a)  List  the  minterms  and  Maxterms  of  both  𝐸  +  𝐹  as  well  as  𝐸`.  𝐹`  and  fill  in  the   table.     b)  Express𝐸+𝐹 as  well  as  𝐸`.𝐹’in  minimum  number  of  literals.   Hint:  A  literal  is  a  variable  in  the  complemented  or  non-­‐complemented  state  i.e.  X   is  a  literal  X`  is  a  literal,  XY  is  two  literals.  That  could  be  SOP  or  POS  format  that   produces  minimum  number  of  literals.     c)  Implement  𝐸  +  𝐹  as  well  as  𝐸`.  𝐹`  using  the  minimum  possible  number  of   gates  and  describe  your  implementation  in  terms  of  number  of  levels  and  gate   inputs  and  number  of  gates  of  each  gate  type  you  have  used  as  well  as  overall   number  of  gates.  Note:  no  restrictions  on  the  number  of  inputs  of  any  gates.    

        Solve  of  the  following:   a)  Implement  𝑌  =  𝐴  +  𝐵  +  𝐶  +  𝐷  using  only  2-­‐input  NAND  gates.   b)  Implement  𝑌  =  𝐴𝐵𝐶𝐷  using  only  2-­‐input  NOR  gates.   c)  Implement  𝑌  =  𝑎`𝑏`𝑐`  +  𝑎`𝑏𝑐  +  𝑎𝑏`𝑐  +  𝑎𝑏𝑐`  using  only  two-­‐input  XNOR  gates.     Hint:  Using  only  one  XNOR  gate,  implement  an  inverter,  and  then  implement  an   XOR  gate  using  only  XNOR   gates.          

For  the  Boolean  function  F  (A,  B,  C,  D)  =  𝜋M(1,  3,4,6,9,11),  with  the  following   don’t  care  conditions  d(A,  B,  C,  D)=∑  𝑚(0,2,5,10,12,14)  do  the  following:  

a)  Use  a  Kmaps  to  express  F  and  F`  in  a  minimal  number  of  literals   expression.  Identify  the  Prime  Implicants,  and  Essential  Prime  Implicants   for  expressions  of  F  and  for  F`  as  well.  If  there  is  multiple  minimum   expressions,  show  them  and  explain  why  you  chose  one  of  them  over  the   other.     b)  Implement  F  using  only  ONE  gate.   c)  Implement  F`  using  only  ONE  gate.   d)  Implement  F  using  NOR  gates.   e)  Implement  F  using  NAND  gates.