ASSET PRICING

4/2/2015 Coursera

https://class.coursera.org/assetpricing­002/quiz/attempt?quiz_id=343 1/4

Help Center

Homework: Three Ways to Price an Option (practice

version)

The due date for this exam is Sun 15 Feb 2015 5:00 PM PST.

This is a practice version of this assignment. You may attempt it two times, and it will grade your answers just as the actual assignment will. However, it is not graded for credit. You can find the actual assignment, which may only be attempted once, here. 

We don't always use consumption growth to find a discount factor. In option pricing, we find a discount factor that prices the stock and bond ("what must consumption growth have been to make the stock and bond price what they are?") and use that discount factor to price an option. In this problem you get to see this approach, and compare it with arbitrage pricing and risk neutral pricing. 

A stock right now ( ) has price  . At time   it will either rise to   or decline to   with equal probability. (  and   are numbers, like 1.2 and 0.90. Assume   and  ) There is also a bond that pays  . 

For all numerical answer questions, use  ,  ,  , and  .

In accordance with the Coursera Honor Code, I (George Christopoulos) certify that the answers here are my own work.

Question 1

Find a discount factor which prices the stock and bond by construction. What this means is, find

a value for   in the " up" state   and   in the "down" state   so that 

 and   Note:   is a random variable, not a

number. When we "choose  " that means, "choose the two numbers   and  ."

Derive a formula for   and   in terms of the givens of the problem  , (you'll need

that later). Report the numerical value of   and   using  ,  ,   

. Report   and   separated by spaces, and use decimals not fractions. 

Hint: Our earlier practice with the binomial model should come in handy! As in those cases,

setting up what you need   and   to do in matrix notation will help a lot.

t = 0 S0 t = 1 = = u S1 Su S0 = = d S1 Sd S0 u d

u > d u > 1, d < 1. Rf

= 1Rf u = 1.2 d = 0.9 = 100S0

m mu m  md

= E(m ) = +S0 S1 1 2 mu Su

1 2 md Sd 1 = E(m ).R

f m

m mu md

mu md , u, d,R f S0

mu md = 1R f u = 1.2 d = 0.9,

= 100S0 mu md

mu md

4/2/2015 Coursera

https://class.coursera.org/assetpricing­002/quiz/attempt?quiz_id=343 2/4

Question 2

Use this discount factor   to price an at­the­money call option. The option pays 

 with   (that's what "at the money" means). Find its value by 

 Derive a formula for   in terms of model parameters. Calculate and report the

numerical value of   using the same parameter values as before. Report a decimal (e.g. 2.5),

not a fraction (2 1/2 or 5/4).

Hint: Start by finding the payoff of the call option in the two states   and  . Then the price of any

payoff is easy to find by 

Question 3

Find the call option value the traditional way: set up a portfolio of   dollars invested in stock and 

 dollars invested in the bond. Choose   and   to match the option payoff, 

 in both   and   states. Then find the formulas for   and  .

The initial value of the option is then the value (cost) of the replicating portfolio  . 

Report the numerical values of   and   as decimals (not fractions), separated by a space. As a

check, the sum   should give you the same result as you found in the last question. 

Question 4

Now, we'll follow the "risk­neutral pricing" approach. Ignore the fact that the actual probabilities of

the two states are each  , and instead make up risk neutral probabilities   and 

 such that

{ , }mu md

= max( − X, 0)C1 S1 X = S0

= E(m ).C0 C1 C0

C0

u d

p = E(mx)

k

h k h

k / + h = max( − X, 0)S1 S0 R f S1 u d k h

k + h

k h

k + h

= = 1/2πu πd π ∗u

= 1 −π ∗ d

π ∗u

= ( ) = [ (u ) + (d )]0 1 ∗

1 1

0 0

4/2/2015 Coursera

https://class.coursera.org/assetpricing­002/quiz/attempt?quiz_id=343 3/4

Derive a formula for the risk­neutral probabilities   and   Use your formula for risk neutral

probabilities to value the option,

and check that you get the same answer as before.

To get risk neutral probabilities, you need to make sure they price the stock, as above; you need

to impose that your risk­neutral probabilities sum to 1. Then show that the condition 

 implies that the risk neutral probabilities correctly price the bond 

. As usual this is all a lot easier in matrix notation. 

Report the numerical values of the risk neutral probabilities   and  , as decimals (not

fractions) separated by a space. 

Hint: Since the expected stock return is greater than the risk free rate, these values will not be

0.5 0.5, the true probabilities!

Question 5

To be valid probabilities we also need   and  . What values of   and 

must we have to ensure these conditions are met? Fill in the relevant blank, as a decimal using

the numerical values of this problem.

Question 6

What's wrong with the assumption   or  ? Check all that apply,

= ( ) = [ (u ) + (d )]S0 1

Rf E ∗ S1

1

Rf π ∗u S0 π

∗ d

S0

π ∗u .π ∗d

= ( )C0 1

Rf E ∗ C1

= 1 −π ∗ d

π ∗u

1 = 1/ × ( )Rf E ∗ Rf

π ∗u π ∗ d

0 ≤ ≤ 1π ∗u 0 ≤ ≤ 1π ∗d u d

0 < d <? < u

0 < d < u < Rf 0 < < d < uRf

4/2/2015 Coursera

https://class.coursera.org/assetpricing­002/quiz/attempt?quiz_id=343 4/4

leave false or irrelevant statements blank. (For this practice version, enter the numbers of the

correct answers, in order separated by blanks) (Hint: Obviously, look what happens to you

discount factors, risk neutral probabilities, etc. in these cases.) 

1. The discount factor (marginal utility) is negative in one or more states of nature, meaning

people want to throw away goods.

2. Negative risk­neutral probabilities are irrational.

3. There is a way to get something for nothing. (An "arbitrage opportunity" if you've read ahead.)

4. Returns are not lognormally distributed.

5. In either configuration, there is an asset that gives a better rate of return than the other, in

ever state of nature. ("Stochastic dominance.")

In accordance with the Coursera Honor Code, I (George Christopoulos) certify that the answers here are my own work.

Submit Answers        Save Answers

You cannot submit your work until you agree to the Honor Code. Thanks!