physical chemistry (Fundamental principles of quantum theory)

CHEM  3512  Winter  2015:  Physical  Chemistry   Problem  Set  1  

Due  date:  Thurs  January  15     Directions:  Complete  all  problems  and  show  all  work  for  full  credit.     1.   Calculate  the  de  Broglie  wavelength  (in  meters)  for:  a)  a  baseball  with  a  mass  of  0.142   kg  travelling  at  90  mph,  and  b)  an  electron  with  a  mass  of  9.109  ×  10–31  kg  travelling  in  an   atom  at  1.0  ×  107  m/s.     2.   A  free  particle  with  mass  m  can  move  in  one  dimension  x  in  the  absence  of  any  external   potentials.  

  a.   Write  the  Schrödinger  equation  for  this  free  particle.  

  b.   Suppose  the  particle  is  in  the  state  ψ = eikx ,  where  k  is  positive,  real  constant.  Is  this   state  an  eigenfunction  of  the  Hamiltonian?  If  so,  what  does  a  measurement  of  the   energy  yield?  

  c.   Suppose  the  particle  is  in  the  superposition  state:  

ψ = 1 2 eikx −

3 2 e−ikx .  

  Is  this  state  an  eigenfunction  of  the  Hamiltonian?  If  so,  what  is  the  probability  that  a   measurement  of  the  momentum  will  find  the  particle  moving  in  the  –x  direction?  

  d.   Suppose  the  particle  is  in  the  superposition  state  given  in  part  c  above.  A  measure-­‐ ment  of  the  momentum  finds  the  particle  moving  in  the  –x  direction.  A  second   measurement  is  made  immediately  afterwards.  What  is  the  probability  of  finding   the  particle  moving  in  the  +x  direction  in  this  second  measurement?  Why?  

  3.   Which  pairs,  if  any,  of  the  following  three  functions  are  orthogonal  over  the  interval   from  0  to  π?  

     

     

CHEM  3512  Winter  2015     Problem  Set  1  2  

4.   Consider  the  operator  Â,  which  has  three  orthonormal  eigenfunctions  ϕn  and  associated   eigenvalues  an:  

Âϕn = anϕn, for n = 0,1, 2 .  

A  normalized  wavefunction  ψ  is  expanded  in  terms  of  the  three  eigenfunctions  of  Â:  

ψ = c0ϕ0 +c1ϕ1 +c2ϕ2 .  

  a.   Normalization  of  ψ  means  that:  

ψ 2 dτ∫ =1.  

  Substitute  in  the  eigenfunction  expansion  and  re-­‐write  this  condition  in  terms  of  the   coefficients  cn.  

  b.   Calculate  the  expectation  value  of  Â  with  respect  to  ψ  in  terms  of  the  coefficients  cn   and  eigenvalues  an.  

  c.   If  c0  =  0.4472  and  c2  =  0.5477,  what  is  the  probability  that  a  measurement  of  Â  will   yield  a1?  

  5.   The  normalized  ground  state  wavefunction  for  the  electron  in  the  1s  orbital  of  the  hy-­‐ drogen  atom  is:  

ψ = 1 πa0

3

!

" #

$

% &

1 2

e−r a0,  

where  r  is  the  distance  from  the  nucleus  and  a0  is  a  constant.  Calculate  the  expectation  val-­‐ ue  of  the  Coulomb  operator  V  =  –1/r  with  respect  to  ψ.