NII

PHY350  (2014)  Assignment  4                                                                                        Due  Friday  December  5,  2014  

  Here  are  the  problems  for  your  final  assignment.  The  last  one  (on  waves,  hopefully)   will  be  posted  later.  Do  all  6  problems.  They  are  of  equal  value.           1.  A  long  thick  cylindrical  shell  with  inner  radius  a  and  outer  radius  b  is  made  of   conducting,  linear  magnetic  material  with  permeability  μ.  The  shell  carries  a  slowly   varying  current  I(t)  along  its  length,  uniformly  distributed  though  the  material.  Find   ! B ,   ! H  and  

! E  in  all  regions  of  space,  in  the  quasi-­‐static  approximation.    

    2.    A  capacitor  with  circular  parallel  plates  of    radius  R  and  separation  d  <<  R  is  filled   with   material   having   dielectric   constant   εr .   A   time-­‐varying   potential   difference V = V0 cosωt  is  applied  to  the  plates:       a)  Find  the  electric  field  between  the  plates  and  the  free  surface  charge  density  on   the  plates  (ignoring  magnetic  and  fringe-­‐field  effects).     b)  Find  the  magnitude  and  direction  of  the  magnetic  field  between  the  two  plates  as   a   function   of   the   distance   from   the   axis   of   the   plates.   You   can   assume   that   the   dielectric  material  has  the  permeability  of  free  space,  

µ = µ

0 .  

  c)  Calculate  the  flux  of  the  Poynting  vector  from  the  open  edges  of  the  capacitor.       3.   Consider   a   solenoid   (n   turns/unit   length,   radius   R)   carrying   a   current   that   is   increasing  linearly  with  time   I(t) = kt  (where   k is  a  constant  with  the  appropriate   units).  Calculate  the  Poynting  vector  and  use  it  to  show  that  the  flow  of  energy  (per   unit  length)  into  volume  occupied  by  the  solenoid  is  given  by                                                                                                                                      

                                                                                                                          dW dt

= d dt

1 2 LI2⎛

⎝⎜ ⎞ ⎠⎟  

  where   L  is  the  self-­‐inductance  per  unit  length  of  the  solenoid.         4.  Consider  a  long  straight  wire  of  radius  a  and  electrical  conductivity  σ  carrying  a   uniform  current  densityJ along  it’s  length.  Find  the  magnitude  and  direction  of  the   Poynting  vector  at  the  surface  of  the  wire.  [If  you’re  not  sure  how  to  approach  this   you  may  want  to  review  some  parts  of  Chapter  7].          

PHY350  (2014)  Assignment  4                                                                                        Due  Friday  December  5,  2014  

5.  Consider  the  system  illustrated  below,  consisting  of  a  inner  sphere  of  radius  a,   and   a   concentric   outer   sphere   of   radius   b,   with   a   small   hole   (which   you   can   otherwise  ignore)  to  allow  a  wire  to  pass  through  to  charge  up  (and  suspend)  the   inner  sphere.  The  inner  sphere  is  made  of  non-­‐conducting  magnetic  media  with  a   uniforms  polarization  in  the  direction  indicated.  It  is  coated  with  a  thin  conducting   layer.  The   inner  and  outer   spheres   thus   form  a   spherical   capacitor.   If   there   is  a   charge  of  +Q  on  the  inner  conductor  and  –Q  on  the  outer  conductor:     a)  Calculate  the  momentum  stored  in  the  fields;     b)  Calculate  the  angular  momentum  stored  in  the  fields;     c)  Describe  (both  qualitatively  and  quantitatively)  what  happens  as  the  charge  is   allowed  to  drain  away.      

                                                                                              6.   a)   Show   that   combining   two   EM   waves   with   equal   amplitudes   travelling   in   opposite  directions  (with  the  same  wavenumber  and  angular  frequency)  produces  a   standing  wave.  If  the  electric  fields  associated  with  these  two  waves  are                                                                    

! E

1 = E

0 cos(kz − ωt)x̂              

! E

2 = E

0 cos(−kz − ωt)x̂  

  find  expressions  for  the  

! E  and  

! B  parts  of   the  standing    wave.  Comment  on  the  

relative  phases  of   ! E  and  

! B .  

  b)  Calculate  the  energy  density  of  the  standing  wave  and  its  average  over  a  full  cycle   (or  over  many  cycles  as  we  did  in  the  lecture:  it  amounts  to  the  same  thing).     c)  Calculate  the  Poynting  vector  and  its  average  over  a  full  cycle.  Comment  on  your   result.