Pricing and Revenue management

Week 09 Workshop ‐ Demand Function

• Price‐demand relationship differ w.r.t. the degree of their elasticity

• The price elasticity refers to the relation of a relative change of volume given a  relative change in price; it measures the slope of the curve:

Price Elasticity revisited

Price

Volume

Price

Volume Inelastic demand Elastic demand

volume percentage change in volume volume

pricepercentage change in price price





  

• The mean of price elasticities in B2C is ‐2.62, the median is ‐2.22, i.e.,  the relative volume change is more than twice as large as the relative  price change

Empirical Distribution of Price Elasticities in B2C

* Bijmolt, van Heerde, Pieters (2005)

• Assume that the price of a product in year 1 is $1,200 and annual  volume at this price total 5,000 units. The price in year 2 drops to  $1,050 and annual volume reach 5,500 units. The price in year 3  drops to $990 and annual volume reach 10,000 units.

• For these price changes, we have the following elasticities: • For year 1 to year 2:

• For year 2 to year 3:

Example for Price Elasticity

• Sales volume of a product often depends not only on its own price but also on  prices of other products. The degree of this dependency is measured by the  cross‐price elasticity, which is defined as 

• When are these two scenarios likely to happen?

Concept of Cross‐Price Elasticity

volume volumepercentage change in volume of product A

pricepercentage change in price of product B price

A

A AB

B

B





  

Price B

Volume A

Price B

Volume A

• The relationship between price and volume is described by the price response function • The price response function captures consumers’ reaction to different prices given their  willingness to pay (and competitors’ prices) 

Basics for Price Optimization

Price response function

• From the company’s perspective, the price‐volume relationship may look like this  graph:

• The price response function describes the functional relation between price p  and volume q: q=q(p); price is the independent variable whereas volume is the  dependent variable

Price Response Functions ‐ Basics

• The most systematic way to represent a continuous curve is by means of a  mathematical equation , e.g. volume=400‐300*price, or      volume=400price‐2

• Different shapes are represented by different mathematical equations • Knowing the mathematical equation helps to predict volumes for prices  that haven’t been observed yet and thus to optimize prices!

Mathematical Representation of Price  Response Functions

Price

Volume

Price

Volume

Price

Volume

 See Excel file PriceResponseFunction.xlsx, sheet “general”

• Have a look at the price response function of a manufacturer of t‐shirts. He  knows that he can sell 3100 shirts for the price of $20, 1800 shirts for the price of  $30, and 1200 shirts for the price of $40. 

• The graphical representation of this relationship is given here:

• The task of the researcher is to find the mathematical specification of a curve  that approximates this relationship best.

Different Mathematical Approximation  Possible

$10 $20 $30 Price

Volume

2000

3000

1000

Possible approximations

Linear Price Response Function 1/2

a

p

Volume

-Elasticity

qq a bp 

( ) ( ) q p p p bp

b b p q q a bp a bp

  

        

a/b

Mathematical representation:

Elasticity:

With q = volume, p = price, a & b = parameters to be estimated

 See Excel file PriceResponseFunction.xlsx, sheet “linear”

This is the  continuous 

counterpart of the  elasticity formula

Here: a>0, b>0

• Highest possible sales volume = ______  • Absolute change in sales resulting from a change in  price by one unit = ______ 

• A higher absolute value of b implies a more / less  price sensitive demand

• The “maximum price”, where no more sales volume  occurs = ______

• The absolute change in volume due to a one unit  change in price does / does not depend on the price  level

• The price elasticity increases / decreases with price  given b>0

Linear Price Response Function 2/2

q a bp 

• Assume that the market research company found the following  relationship between the price of your product and its sales volume: 

• What is the highest possible volume level you can reach? • At what price will consumers stop buying? • How many units can you sell if you charge a price of $2? • What is the price elasticity at a price of $2? What is the price elasticity  at a price of $4?

Example Linear Price Response Function

10, 000 2000q p 

Multiplicative Price Response Function 1/2 Mathematical representation:

Elasticity:

bq ap

1 1( ) ( )b b b q p p p

bap bap b p q q ap

   

    

p

Volume -Elasticity

 See Excel file PriceResponseFunction.xlsx, sheet “multiplicative”

Here: a>0, b<0 With q = volume, p = price, a & b = parameters to be estimated

• For a price close to zero, sales volume approaches  __________

• A more negative value of b implies a more / less price  sensitive demand

• Sales volume can never be zero • The absolute change in sales volume due to a one unit  change in price depends / does not depend on the price  level

• The price elasticity remains constant / changes with  different price levels

Multiplicative Price Response Function 2/2

bq ap

• Assume that the market research company found the following  relationship between the price of your product and its sales volume: 

• Please illustrate the price‐volume relationship graphically! • How many units can you sell if you charge a price of $2? • What is the price elasticity at a price of $2? What is the price elasticity  at a price of $4?

Example Multiplicative Price Response  Function

210.000q p

Overview of Most Important Competitive Price  Response Functions

No model is inherently superior; performance depends on data! 

Model Dependent  Variable

Formula Own elasticity Cross elasticity

Linear qA

Multiplicative qA b cA A Bq ap p

AA Bq a bp cp   A

A A B

p b a bp cp

     AB

A B

Bpc a bp cp

   

A b  AB c 