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SEGUNDO EXAMEN DE DIAGNÓSTICO (I-2021)

El siguiente examen es de carácter estrictamente individual. Tiempo probable: 5 horas

INSTRUCCIONES: Resuelva cada una de las preguntas o problemas propuestos de forma clara. Cuando considere conveniente resuelva cada problema en páginas separadas. El orden y el número de cifras significativas es importante y se tomará en cuenta a la hora de calificar la prueba. Use separador decimal coma, se evaluará el uso adecuado del Sistema Internacional de Unidades. Puede resolverlo a mano y emplear todos los colores de lapicero o lápiz que usted desee. Asegúrese de escanear todo su examen completo y que pueda ser totalmente legible. El examen deberá ser entregado v́ıa Mediación Virtual al enlace indicado por el profesor a más tardar el d́ıa 1o de junio a las 23:59 h. Después de esa hora no se recibirá ningún examen bajo ninguna circunstancia. Asegúrense de escribir el nombre y número de carné en la primer página. El orden es importante.

1 Validación de un método para calibración de pesas (5 %)

El laboratorio Metro-precisión está trabajando en la validación de un método para la calibración de pesas de 100 g clase F1 según la OIML R111-1.

Como parte de las actividades del proceso de validación, Metro-precisión llevó a cabo la calibración de una pesa de 100 g de este tipo y el certificado de calibración emitido por Metro-precisión reporta que la masa de la pesa era:

100 g - 0,25 mg ± 0,15 mg (Incertidumbre expandida reportada con k = 2 para una probabilidad de cobertura del 95,45%; distribución normal). 1

Esta misma pesa fue enviada a calibrar a LCM (Laboratorio Costarricense de Metroloǵıa), el cual se con- sidera laboratorio de referencia por ser nacional y haber demostrado su competencia técnica internacionalmente en la calibración de pesas. En el certificado de LCM se reporta que la masa de la pesa corresponde a:

100 g - 0,050 mg ± 0,092 mg (Incertidumbre expandida reportada con k = 2 para una probabilidad de cobertura del 95,45%; distribución normal).2

Requerimientos:

a) Consulte la OIML R111-1 Edición 2004 (pág. 12) e indique cuál es el Error máximo tolerado de una pesa de 100 g clase F1. Basado en ese dato ¿considera que la incertidumbre reportada por Metro-precisión es adecuada para calibrar este tipo de pesas? Explique. (2%)

b) Basado en algún parámetro numérico, ¿considera que el método de calibración de Metro-precisión tiene la veracidad suficiente para que no hay evidencia de que haya un sesgo? Explique. (2%)

1Adviértase que 100 g - 0,25 mg = (100 - 0,000 25) g = 99,999 75 g 2Adviértase que 100 g - 0,050 mg = (100 - 0,000 050) g = 99,999 950 g

1

c) ¿La pesa en mención cumple con los errores máximos permisibles de la Recomendación Internacional OIML R111-1 para la clase de exactitud F1? Justifique su respuesta. (1%)

2 Potencia disipada (10 %)

Supongamos que se aplica una diferencia de potencial V a los bornes de una resistencia cuyo valor depende de la temperatura t, de la resistencia R0 a la temperatura definida t0 y del coeficiente lineal de temperatura α. La potencia disipada P está definida por:

P = V 2

R0 [1 + α(t − t0)] (1)

Donde:

P es la potencia disipada en watt V es la tensión eléctrica en volt R0 es la resistencia en ohm a una temperatura t0 α es el coeficiente de temperatura en K−1

t es la temperatura en K t0 es la temperatura de referencia en K

Suponga que se conocen las incertidumbres estándar de las variables V , R0, α y t y corresponden a u(V ), u(R0), u(α) y u(t). Considere que la incertidumbre de t0 es despreciable (u(t0) = 0).

Requerimientos

a) Aplique la ley de propagación de incertidumbres para hallar una expresión algebraica para la incertidumbre estándar relativa de la potencia disipada u(P)/P en función de V , R0, α, t y t0 y de las incertidumbres estándar u(V ), u(R0), u(α) y u(t). Asegúrese de simplificar la expresión de forma conveniente. (7%)

b) Se sabe que cada una de estas variables con sus respectivas incertidumbres estándar están dadas por las siguientes expresiones:

V = 50, 0 V (2)

R0 = 100, 0 Ω (3)

α = 3, 9 × 10−3 K−1 (4) t = 30, 5oC (5)

t0 = 20 oC (6)

Las incertidumbres estándar respectivas corresponden a:

u(V ) = 0, 2 V (7)

u(R0) = 0, 6 Ω (8)

u(α) = 0, 3 × 10−3 K−1 (9) u(t) = 2, 3oC (10)

Considere que la incertidumbre de t0 es despreciable (u(t0) = 0).

Halle el valor de la potencia disipada y repórtela con su respectiva incertidumbre estándar. Emplee dos cifras significativas para la incertidumbre estándar y asegúrese que el mensurando tenga consistencia decimal. (3 %)

2

3 Triángulo rectángulo (15 %)

Se construyó un triángulo rectángulo tal como el que se muestra en la siguiente figura a partir de una lámina de aluminio.

Se midió la longitud de uno de los catetos empleando una regla ŕıgida con una división de escala de 0,1 cm y se determinó que la longitud correspondiente es A = 35, 0 cm. Suponga que la única fuente de incertidumbre que afecta la medición de A es la división de escala de la regla.

Se midió el ángulo θ empleando un goniómetro y se determinó que corresponde a θ = 35, 0o ± 0, 5o.

Requerimientos:

Halle el área del triángulo rectángulo y repórtelo con su respectiva incertidumbre expandida para una proba- bilidad de cobertura del 95,45% indicando el factor de cobertura y el tipo de distribución de probabilidad que sigue.

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4 Espesor de una lámina (20 %)

Se midió el espesor de una lámina de acero cuyo calibre es de 5/16 de pulgada y se desea medir su espesor em- pleando un micrómetro digital cuya resolución es de 0,001 mm. Las mediciones fueron realizadas por 6 analistas distintos sobre la misma lámina sobre la cual cada analista realizó 7 mediciones. Los resultados del espesor de la lámina en miĺımetros se muestran a continuación:

Table 1: Mediciones del espesor de lámina en miĺımetros realizada por 5 analistas.

Analista A Analista B Analista C Analista D Analista E Analista F

7,938 7,944 7,935 7,939 7,941 7,934 7,943 7,946 7,937 7,936 7,942 7,933 7,940 7,941 7,938 7,938 7,940 7,935 7,939 7,945 7,942 7,932 7,939 7,933 7,942 7,940 7,940 7,935 7,944 7,932 7,944 7,947 7,933 7,937 7,946 7,937 7,940 7,942 7,941 7,934 7,948 7,938

El micrómetro empleado es digital y fue calibrado en un laboratorio acreditado bajo la norma ISO 17025. Según el certificado de calibración, los resultados de la calibración fueron los siguientes:

Table 2: Resultados del error de indicación y la incertidumbre del micrómetro empleado

Indicación del Valor del Error de Incertidumbre expandida instrumento calibrado patrón indicación (k = 2; p=95,45 %;distribución normal)

(mm) (mm) (mm) (mm)

2,0000 2,0000 0,0000 0,0012 4,0015 4,0000 +0,0015 0,0013 6,0020 6,0000 +0,0020 0,0013 10,0024 10,0000 +0,0024 0,0015 15,0026 15,0000 +0,0026 0,0016 20,0030 20,0000 +0,0030 0,0017 22,5032 22,5000 +0,0032 0,0018

La deriva instrumental del instrumento entre calibraciones sucesivas se determinó a partir de los certificados de calibración anteriores y se estima en ± 0,002 mm.

Considere que el coeficiente de expansión térmica del acero es de 11 × 10−6 K−1 y que la variación máxima de temperatura respecto a la temperatura de referencia es de ± 5oC.

Requerimientos:

a) Empleando un nivel de significancia del 0,05 realice una prueba de homogeneidad de varianzas y una prueba de homogeneidad de medias entre los analistas. En caso que haya algún analista cuyos datos no sean adecuados elimı́nelos para el análisis posterior. Presente las pruebas de hipótesis, los estad́ısticos de prueba cŕıticos, la interpretación de los mismos y el cuadro de variación respectivo. (8%)

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b) Halle el mejor estimador del espesor de la lámina. (1%)

c) Considerando todas las fuentes de incertidumbre, calcule la incertidumbre estándar combinada del espe- sor de la lámina. (7 %)

d) Calcule la incertidumbre expandida para una probabilidad de cobertura del 95,45% del mejor estimador del espesor de la lámina. Muestre todos sus cálculos. (2%)

e) Reporte el mejor estimador de la lámina con su respectiva incertidumbre expandida con dos cifras signi- ficativas e indique el tipo de distribución de probabilidad que sigue, el factor de cobertura y la probabilidad de cobertura. (2%)

5 Aceleración de la gravedad (30 %)

La aceleración de la gravedad puede ser medida a partir de una correcta caracterización de un péndulo simple como el que se muestra en la Figura 1.

Figure 1: Diagrama de un péndulo simple

El peŕıodo T de un péndulo simple puede aproximarse a partir de la siguiente ecuación:

T = 2π

√ L

g

[ 1 +

φ2

16

] (11)

Donde g es la aceleración de la gravedad local, L es la longitud del péndulo desde el pivote hasta el centro de percusión y φ es el ángulo de amplitud del péndulo. El peŕıodo se puede hallar tomando un tiempo t y

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dividiéndolo entre el número de ciclos N como sigue:

T = t

N (12)

Se ha montado un sistema de medición el cual se sabe que el ángulo de amplitud se mantiene dentro del rango de mediciones de: θ = 15o ± 1o. El sistema de medición del ángulo tiene una incertidumbre por calibración de ±1o (k = 2; distribución normal; 95,45%) y la incertidumbre por deriva instrumental es despreciable.

La longitud del centro de percusión se ha medido con una regla y se ha ajustado de tal manera que L = 1, 0000 m. Esta longitud posee las siguientes fuentes de incertidumbre:

- Incertidumbre por posicionamiento del cero: ±1, 0 mm - Incertidumbre por posicionamiento del punto final de medición: ±1, 0 mm - Incertidumbre por calibración de la regla: ±0, 2 mm (k = 2; 95,45%; distribución normal)

El tiempo t es medido con un cronómetro. De acuerdo con las mediciones realizadas dicho tiempo corre- sponde a t = 2017, 95 s. El sistema de medición empleado tiene las siguientes caracteŕısticas metrológicas para el punto en que se realizó la medición:

- Incertidumbre por calibración ±0, 50 s (k = 2; 95,45%; distribución normal) - Incertidumbre por deriva instrumental ±0, 50 s. - Incertidumbre por pulsación del cronómetro ±1, 4 s.

El número de pulsaciones se considera N = 1000 y la incertidumbre de N se puede considerar desprecia- ble.

Requerimientos:

a) Sustituya la ecuación (2) en la ecuación (1) y halle una función de medición para determinar la aceleración de al gravedad local g em función de t, L, N y φ. (1 %)

b) Haga un diagrama causa-efecto donde se visualicen todas las fuentes de incertidumbre que afectan el cálculo de la aceleración de la gravedad. (4 %)

c) Halle las incertidumbres estándar de todas las incertidumbres identificadas en el diagrama de causa-efecto. (7 %)

d) Halle el mejor estimador de la gravedad local. (2 %)

e) Halle los coeficientes de sensibilidad con respecto a t, L y φ en forma anaĺıtica y reporte cada uno de estos coeficientes con sus respectivas unidades de medida. (6 %)

f) Halle la incertidumbre estándar combinada de la aceleración gravitacional. (2 %)

g) Calcule la incertidumbre expandida de la aceleración de gravedad local y repórtela con su respectiva in- certidumbre expandida para una probabilidad de cobertura del 95,45% indicando el factor de cobertura y el

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tipo de distribución de probabilidad que sigue. (3 %)

h) Elabore un presupuesto de incertidumbres completo para la gravedad local (5 %)

6 Error de indicación de un micrómetro (15 %)

Se desea calibrar un micrómetro digital cuya división de escala es de 0,001 mm. Para ello, se emplea un bloque patrón cuya longitud nominal es de 20 mm. El grado del bloque es de grado 2 según la norma ISO 3650:1998. La deriva instrumental del bloque patrón entre calibraciones sucesivas se considera que es la mitad del error máximo permisible asociado a la clase de exactitud del bloque.

Tanto el micrómetro como el bloque empleado están fabricados en acero y se puede considerar que el coefi- ciente de expansión lineal es de 11, 5 × 10−6 K−1. El valor absoluto de la diferencia de temperatura entre el micrómetro y el bloque patrón nunca es mayor a 5oC.

Se realzaron 7 mediciones con el micrómetro y el bloque en condiciones de repetibilidad y se obtuvieron los siguientes resultados:

Table 3: Indicaciones del micrómetro al ser calibrado empleando el bloque de 20 mm

Número de medición Indicación del micrómetro (mm)

1 20,002 2 20,000 3 20,001 4 19,999 5 19,997 6 20,000 7 19,998

7 Volt́ımetro analógico (5 %)

Considere el indicador del Volt́ımetro que se muestra en la Figura 2. Suponga que es posible realizar una apreciación a una quinta parte de la división de escala. Suponga también que el observador se colocó a 300 mm del indicador y que la desviación en un plano paralelo a la carátula del indicador es de ±40 mm. Considere además que el radio del indicador es de 50 mm y que la altura del indicador a la carátula no es mayor que la mitad de la distancia entre dos divisiones de escala consecutivas de la carátula del volt́ımetro.

Requerimientos:

a) Calcule la incertidumbre estándar por apreciación. (1%)

b) Calcule la incertidumbre estándar por efecto paralaje. (2%)

c) Reporte el mejor indicador de la tensión con su respectiva incertidumbre expandida para una probabilidad

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Figure 2: Volt́ımetro analógico

de cobertura del 95,45% indicando el factor de cobertura y el tipo de distribución que sigue la incertidumbre expandida empleando las cifras significativas adecuadas. (2%)

Mayo 2021

”La Ciencia comienza donde empieza la medición, no siendo posible la ciencia exacta en ausencia de medi- ciones.” - Mendeleyev

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