Maths,physics and chemistry

 

Page 1 sur 9   

  MATRIX DETERMINANTS  

Summary Uses ................................................................................................................................................. 1 

1‐  Reminder ‐ Definition and components of a matrix ................................................................ 1 

2‐  The matrix determinant .......................................................................................................... 2 

3‐  Calculation of the determinant for a   matrix ................................................................. 2 

4‐  Exercise .................................................................................................................................... 3 

5‐  Definition of a minor ............................................................................................................... 3 

6‐  Definition of a cofactor ............................................................................................................ 4 

7‐  Cofactor expansion – a method to calculate the determinant ............................................... 4 

8‐  Calculate the determinant for a   matrix ........................................................................ 5 

9‐  Alternative method to calculate determinants ....................................................................... 6 

10‐  Exercise .................................................................................................................................... 7 

11‐  Determinants of square matrices of  dimensions 4x4 and greater ......................................... 8 

 

 

Uses

The determinant will be an essential tool to identify the maximum and minimum points  or the saddle points of a function with multiple variables.  

1‐ Reminder ‐ Definition and components of a matrix

A matrix is a rectangular table of form  

⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

A  matrix  is  said  to  be  of  dimension    when  it  has    rows  and    columns.  This  method of describing the size of a matrix  is necessary  in order to avoid all confusion 

Page 2 of 9   

between two matrices containing the same amount of entries. For example, a matrix of  dimension 3 4 has 3 rows and 4 columns. It would be distinct from a matrix 4 3,  that  has  4  rows  and  3  columns,  even  if  it  also  has  12  entries.  A  matrix  is  said  to  be  square when it has the same number of rows and columns.  

The elements are matrix entries  , that are identified by their position. The element 

 would be the entry located on the third row and the second column of matrix  .  This notation is essential in order to distinguish the elements of the matrix. The element 

, distinct from  , is situated on the second row and the third column of the matrix  .  

2‐ The matrix determinant

A value called the determinant of  , that we denote by  

or | |,

corresponds  to  every  square  matrix  .  We  will  avoid  the  formal  definition  of  the  determinant  (that  implies  notions  of  permutations)  for  now  and  we  will  concentrate  instead on its calculation.  

3‐ Calculation of the determinant for a matrix

Let us consider the matrix   of dimension 2 2 :  

The determinant of the matrix   is defined by the relation  

det –

The  result  is  obtained  by  multiplying  opposite  elements  and  by  calculating  the  difference between these two products…. a recipe that you will need to remember!

   

Page 3 of 9   

Example  

Given the matrix  

2 1 3 2

The determinant of A is  

det 2 1 3 2

4‐ Exercise

Calculate the determinant of the following  2 2 matrices :  

. 1 3 5 2

. 2 1 4 2

. 4 1 3 2

. 4 3 1 2

Solutions :  a) ‐17  b) 0  c) 5  d) 11 

Before being able to evaluate the determinant of a 3 3 matrix (or all other matrices of  a greater dimension), you will first need to learn a few concepts… 

5‐ Definition of a minor

2 1 4 5 2 3 8 7 3

The minor    is the determinant of the matrix obtained by eliminating the first row  and the second column of  , i.e.  

5 3 8 3

5.3 3.8 15 24 9

The minor   is the determinant of the matrix obtained by eliminating the second row  and the second column of  , i.e.  

2 4 8 3

2.3 4.8 6 32 26

Page 4 of 9   

6‐ Definition of a cofactor

The cofactor,  , of a matrix   is defined by the relation  

1

You will notice that the cofactor and the minor always have the same numerical value,  with the possible exception of their sign.  

Let us again consider the matrix  

2 1 4 5 2 3 8 7 3

We  have  already  shown  that  the  minor  9.  Thus  the  corresponding  cofactor,  , is  

1 1. 9 9

The minor   and the cofactor   are of different signs.  

The minor  26. Its corresponding cofactor   is  

C 1 M 1. 26 26 

This time, the minor M  and the cofactor C  are identical.   

Evaluating  the  determinant  of  a  3 3  matrix  is  now  possible.  We  will  proceed  by  reducing it in a series of 2 2 determinants, for which the calculation is much easier.  This process is called an cofactor expansion.  

7‐ Cofactor expansion – a method to calculate the determinant

Given a square matrix   and its cofactors . The determinant is obtained by cofactor  expansion as follows: 

 Choose a row or a column of  (if possible, it is faster to choose the row or column  containing the most zeros)…  

 Multiply  each  of  the  elements    of  the  row  (or  column)  chosen  by  its  corresponding cofactor,  …  

 Add these results.  

Page 5 of 9   

8‐ Calculate the determinant for a matrix

For a  3 3 matrix, this would mean that by choosing to make an expansion along the  first row, the determinant would be  

If we had chosen to carry out an expansion along the second column, we would have to  calculate  

While the choice of row or column may differ, the result of the determinant will be the  same, no matter what the choice we have made. Let us verify this with an example.  

Example 

What is the determinant of matrix   ?  

2 1 3 1 0 2 2 0 2

Solution  

Let us follow the procedure proposed above (cofactor expansion):  

 Choose a row or a column of … For now, let us choose the first row.    Multiply  each  of  the  elements  of  this  row  by  their  corresponding  cofactors…  The 

elements of the first row are  2, 1,et 3 that we multiply with the  corresponding cofactors, i.e. C ,C et C . These are  

1 1 0 2 0 2

1 0. 2 2.0 0

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2 2 6

C 1 M 1 1 0 2 0

1 1 0 2 0 0 

Finally, we need to calculate  

2 0 6 1 3 0 6

Page 6 of 9   

Let us verify if an expansion along the second column coincides with the previous result.  Note  that  the  choice  of  the  second  column  is  much  more  effective  since  the  determinant will be obtained from the calculation  

Two  of  the  three  elements  of  the  second  column  are  zero.  In  effect,  1, 0, 0.  It  is  thus  useless  to  calculate  the  cofactors    and  .  The  corresponding cofactor for   is  

C 1 M 1 1 2 2 2

1 1 2 2 2 6 

The determinant of    is thus  

det A a C a C a C 1 6 0 C 0 C 6, 

which corresponds to the answer obtained by an expansion along the first row. 

9‐ Alternative method to calculate determinants

This second method is in all points equivalent to cofactor expansion but will allow you to  avoid the use of cofactors.  

 Allocate a sign  /  to each element by following the rule: we associate a positive  sign  to  the  position    ,  then  we  alternate  the  signs  by  moving  horizontally  or  vertically.  

 Choose a row or column of   (if possible, it is faster to choose the row or column of   containing the most number of zeros)…  

 Multiply each element of   of the row (or column) chosen by  its corresponding  minor,  i.e. the remaining determinant when we eliminate the row and column  in  which   is.  

 Add or subtract these results according to the sign allocated to the elements during  the first step.  

Let us verify that this method will produce the same result as in the previous example:  

   

Page 7 of 9   

Example  

Given the matrix   to which we allocate a sign  /  according to the rule stated above.  

2 1 3 1 0 2 2 0 2

 Let us choose the third column (it is certainly not the best choice since the second  row has the most zeros, but…)  

 We then multiply each element by its corresponding minor:  

3 1 0 2 0

3 0 0

2 2 1 2 2

2 2 4

2 2 1 1 0

2 1 2

 Finally,  the  respective  signs  of  the  elements  of  the  third  column  tell  us  the  operations to carry out between these values to obtain the determinant:  

det 0 4 2 6

10‐ Exercise

Calculate the determinant of the following matrices: 

1 3 2 4 1 3 2 2 0

1 0 2 1 3 4 0 6 0

3 2 4 2 4 5 1 8 2

8 1 9 3 1 8 11 0 17

Solutions :  a) 24  b) ‐12  c) ‐66  d) 0 

Page 8 of 9   

11‐ Determinants of square matrices of dimensions 4x4 and greater

The  methods  presented  for  the  case  of  3 3  matrices  remain  valid  for  all  greater  dimensions. You must again follow the steps for cofactor expansion: 

Given a square matrix   and its cofactors , the determinant is obtained by following a  cofactor expansion as follows: 

 Chose a row or column of   (if possible, it is faster to choose the row or column that  contains the most zeros) …  

 Multiply  each  of  the  elements   of  the  row  (or  column)  chosen,  by  the  corresponding cofactor  …  

 Add the results.  

We must however mention a distinction. The cofactor associated to the element   of a 

4 4 matrix is the determinant of a 3 3 matrix, since it is obtained by eliminating the  i th  row and the j

th  column of  .  

Example  

Calculate the determinant of matrix A 

1 2 1 0 0 3 1 1 1 0 3 1 3 1 2 0

It is essential, to reduce the amount of calculations, to choose the row or column that  contains  the  most  zeros  (here,  the  fourth  column).  We  will  proceed  to  a  cofactor  expansion along the fourth column, which means that  

As   and   are zero, it is useless to find    and  . The cofactors   and   will  be necessary…  

1 1 1 2 1 1 0 3 3 1 2

Page 9 of 9   

1 1 1 2 1 0 3 1 3 1 2

We let the reader verify that  18 et  2. Consequently, the determinant of   is  

0 1 18 1 2 0 16

Exercise  

Show that the determinant of A in the previous example is 16 by a cofactor expansion  along  

a) The first row   b) The third column