math Assignment 2

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Confidence Interval Explanation

Here is one sample from the before data. Hit <F9> to get a new sample.
Samples from the after data of size 100 are taken and the mean is found. This is repeated 1000 times to get a sampling distribution. The normal distribution which has mean equal to the mean of the after data and standard deviation equal to the standard deviation of the after data divided by the square root of the number of samples, this is the SE, is shown in the background. The 95% confidence interval is indicated by the red coloring on the normal distribution, this is (mean - 1.96*SE, mean + 1.96*SE). The meaning should be clear, about 95% of the sampling distribution should occur in this interval.
Here is one sample from the after data. Hit <F9> to get a new sample.
Mean of sampling distribution: 68.67
Standard Deviation of Sampling Dist: 2.2653681696
Here is another perspective. 100 samples were drawn from the After Data. A 95% CI was created for each. We should expect 95% of these CI's to contain the true population mean. Hit <F9> to regenerate.
%CI's that contain the mean: 95% Each CI is formed by finding the mean (M) of the sample and then the standard deviation of the sample (SD). SE is computed as SD/sqrt(# of samples). The CI is computed as (M - 1.96*SE, M + 1.96*SE)
A good intuition for the CI: The mean is a point estimate. You take a sample of the population, take the sample mean and use this as an estimate for the population mean. Why should this estimate be any good, after all, you just have one random sample. The CI is an interval estimate, a 95% CI is an interval obtained from a sample and you interpret this as: "I am 95% certain that the actual population mean is in the interval." You are not predicting a specific mean for the population, instead you are finding an interval of possible values for the population mean and you are able to quantify how certain you are that the true population mean is inside that interval.

Before 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 > 100 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 7 9 15 12 15 12 1 7 0

After 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 > 100 3 0 0 0 0 0 0 4 0 9 1 14 9 9 8 4 8 8 2 2 4

1000 mean counts for samples of size 100

Normal [58…59) [59…60) [60…61) [61…62) [62…63) [63…64) [64…65) [65…66) [66…67) [67…68) [68…69) [69…70) [70…71) [71…72) [72…73) [73…74) [74…75) [75…76) [76…77) 8.8282100460376246E-4 3.2511886833645805E-3 9.9506075746811154E-3 2.5311569538967453E-2 5.3514487353852808E-2 9.404236616752075E-2 0.13736899363605978 0.16679222763955848 0.16834082053343802 0.14123093325896996 9.8490150107868657E-2 5.7091288445204835E-2 2.7507319198796232E-2 1.1015681848986936E-2 3.66639108202782E-3 1.0141604168724117E-3 2.331245989 1799975E-4 4.4530088049832273E-5 7.067586755726829E-6 Mean Counts [58…59) [59…60) [60…61) [61…62) [62…63) [63…64) [64…65) [65…66) [66…67) [67…68) [68…69) [69…70) [70…71) [71…72) [72…73) [73…74) [74…75) [75…76) [76…77) 2E-3 6.0000000000000001E-3 1.7000000000000001E-2 3.6999999999999998E-2 7.0000000000000007E-2 0.126 0.155 0.16300000000000001 0.16700000000000001 0.127 6.7000000000000004E-2 4.2999999999999997E-2 1.2999999999999999E-2 5.0000000000000001E-3 2E-3 0 0 0 0 CI 0 0 0 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0 0 0 0 0 0 0 0

100 CI's computed from Samples of size 100 from the After Data

Hi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999 1000 66.887020548718198 62.117403114261322 60.23817363967725 57.616774611816453 59.863542630923803 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Histogram

min 58.81 58 Low Hi Interval CumFreq Freq
max 72.67 73 57 58 [57…58) 0 0 0.0002432271 0.0002432271 0
delta 1 58 59 [58…59) 2 0.002 0.0011260481 0.000882821 0
59 60 [59…60) 8 0.006 0.0043772368 0.0032511887 0
60 61 [60…61) 25 0.017 0.0143278444 0.0099506076 0.01
61 62 [61…62) 62 0.037 0.0396394139 0.0253115695 0.01
62 63 [62…63) 132 0.07 0.0931539013 0.0535144874 0.01
63 64 [63…64) 258 0.126 0.1871962674 0.0940423662 0.01
64 65 [64…65) 413 0.155 0.3245652611 0.1373689936 0.01
65 66 [65…66) 576 0.163 0.4913574887 0.1667922276 0.01
66 67 [66…67) 743 0.167 0.6596983092 0.1683408205 0.01
68.67 67 68 [67…68) 870 0.127 0.8009292425 0.1412309333 0.01
2.2653681696 68 69 [68…69) 937 0.067 0.8994193926 0.0984901501 0.01
69 70 [69…70) 980 0.043 0.9565106811 0.0570912884 0
70 71 [70…71) 993 0.013 0.9840180003 0.0275073192 0
65.55 71 72 [71…72) 998 0.005 0.9950336821 0.0110156818 0
2.3078423611 72 73 [72…73) 1000 0.002 0.9987000732 0.0036663911 0
73 74 [73…74) 1000 0 0.9997142336 0.0010141604 0
74 75 [74…75) 1000 0 0.9999473582 0.0002331246 0
75 76 [75…76) 1000 0 0.9999918883 0.0000445301 0
76 77 [76…77) 1000 0 0.9999989559 0.0000070676 0

1000 mean counts for samples of size 100

Normal [58…59) [59…60) [60…61) [61…62) [62…63) [63…64) [64…65) [65…66) [66…67) [67…68) [68…69) [69…70) [70…71) [71…72) [72…73) [73…74) [74…75) [75…76) [76…77) 8.8282100460376246E-4 3.2511886833645805E-3 9.9506075746811154E-3 2.5311569538967453E-2 5.3514487353852808E-2 9.404236616752075E-2 0.13736899363605978 0.16679222763955848 0.16834082053343802 0.14123093325896996 9.8490150107868657E-2 5.7091288445204835E-2 2.7507319198796232E-2 1.1015681848986936E-2 3.66639108202782E-3 1.0141604168724117E-3 2.331245989 1799975E-4 4.4530088049832273E-5 7.067586755726829E-6 Mean Counts [58…59) [59…60) [60…61) [61…62) [62…63) [63…64) [64…65) [65…66) [66…67) [67…68) [68…69) [69…70) [70…71) [71…72) [72…73) [73…74) [74…75) [75…76) [76…77) 2E-3 6.0000000000000001E-3 1.7000000000000001E-2 3.6999999999999998E-2 7.0000000000000007E-2 0.126 0.155 0.16300000000000001 0.16700000000000001 0.127 6.7000000000000004E-2 4.2999999999999997E-2 1.2999999999999999E-2 5.0000000000000001E-3 2E-3 0 0 0 0 CI 0 0 0 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0 0 0 0 0 0 0 0

WaterSafetyData

Before wells were dug After wells were dug - Villager provided samples After wells were dug - Team collected samples
E. coli per milliliter in drinking water
Windows User: these need to be between 0 and 150 and the unit is millions of bacteria per mlliliter		 E. coli per milliliter in drinking water E. coli per milliliter in drinking water
0 Mean 0 Mean 0 Mean 0
0 74.65 0 65.55 0 0
0 Median 0 Median 0 Median 0
0 0 0 0
0 SD 54 0 8
57 19.1845766124 59 1 41
60 46 1 17
63 61 2 41
63 21 62 32
64 84 65 67
65 79 66 38
65 81 70 39
66 46 70 41
66 87 71 58
67 58 72 41
67 64 74 92
67 67 74 50
67 70 74 72
68 23 75 51
69 47 79 122
69 59 50
69 60 52
70 72 59
70 37 84
70 68 100
72 49 36
73 64 69
73 100 62
73 35 52
73 61 63
73 45 74
74 70 62
74 89 52
74 58 89
75 79 57
75 80 58
75 61 55
75 61 95
75 58 93
76 39 82
76 68 80
76 69 31
76 73 51
77 99 68
77 73 50
77 107 60
78 59 97
78 97 36
78 91 84
79 60 42
79 35 73
79 58 78
79 68 97
79 66 80
80 40 114
80 20 30
80 50 76
80 82 52
80 66 86
81 87 70
81 53 39
81 84 98
81 62 58
81 58 86
81 72 80
82 102 46
82 87 65
83 37 60
83 85 50
84 67 55
84 82 47
84 63 62
84 73 82
84 84 87
84 47 78
85 90 40
85 77 53
85 73 74
85 86 120
85 73 80
85 76 87
86 85 71
86 70 95
87 89 78
87 49 83
87 92 62
88 91 81
88 55 64
88 72 75
88 59 70
88 89 81
90 56 118
90 86 90
90 99 51
92 68 74
93 92 58
95 89 84
96 49 52
97 67 86
99 107 107

Charts

First sample of 100
Second sample of 100
Sample of 20

Hypothesis Test

t-Test: Two-Sample Assuming Unequal Variances
Samples before wells All samples after wells
Mean 74.7 36.8
Variance 368.0 1243.5
Observations 100 120
Hypothesized Mean Difference 0
df 190
t Stat 10.10
P-value for one-tail < 0.001
t Critical one-tail 1.65
P-value for two-tail < 0.001
t Critical two-tail 1.97

AfterSamples

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min 68.09 58 Lo Hi Before After 10th percentile 10% 10 Label
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66 68 0 198 0 [66…68)
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70 72 53 12 53 [70…72)
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Sampling distribution of means for 702 samples

of size 100 from before and after data

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TwoSamples

Sample From "Before" Set of Data Sample From "After" Data
88 73
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76 80 90 12 8
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84 86 >100 0 4
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82 62
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57 68
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69 84
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0 59
73 73
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71.76
Press Enter

Before 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 > 100 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 7 9 15 12 15 12 1 7 0

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