Finding Graphs of Functions in Nature
Исследовательская работа «Какая функция лучше всего описывает кривую?»
Для работы выбрал гору Фудзи (Токио, Япония) для фотосессии (фото 1).
(attēls 1)
Я выбрал фото, потому что в тот момент казалось, что форма горы на фото чем-то напоминает квадратичный график, т. в туннели или подбородок Эдварда Камарута).
Я поместил изображение в приложение «GeoGebra Classic 6» (см. рис. 2).
(attēls 2)
Я оставил 11 точек (от точки С до точки О) которые я думаю описал хорошо и правильно
форму соответствующего выступа земной литосферной плиты (см. рис. 3).
(attēls 3)
Я хотел выяснить, какая функция лучше всего описывает положение точек, и, поскольку в моем представлении она напоминала график квадратичной функции, я создал саму квадратичную функцию. Квадратичная функция может быть записана несколькими способами, например,
𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑛
где 𝑦 и 𝑥 — переменные, 𝑎 — направление и коэффициент наклона ветвей параболы, ℎ и 𝑛 — координаты вершины графика функции (ℎ;𝑛). Функцию можно записать в виде
𝑦 = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
где 𝑦 и 𝑥 — переменные, а 𝑥1 и 𝑥2 — точки пересечения графика функции с осью 𝑥 при 𝑦 = 0.
Однако на этот раз я написал функцию в форме
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
где 𝑦 и 𝑥 — переменные, а 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — параметры функции.
Для создания квадратичной функции я выбрал три координаты отложенных точек, которые, по моему мнению, могли бы хорошо описать график функции, и создал три отдельных уравнения с вставленными в них координатами точек. Я выбрал точки J (0;0), N(4;-2) и O(6;-2,62). Ниже вы можете увидеть все три уравнения с координатами вставленных точек. Точка J:
0 = 02𝑎 + 0𝑏 + 𝑐
Точка N:
−2 = 42𝑎 + 4𝑏 + 𝑐
Точка O:
−2,62 = 62𝑎 + 6𝑏 + 𝑐
Далее я выяснил каждый параметр методом исключения Гаусса:
0 = 0𝑎 + 0𝑏 + 𝑐
{ −2 = 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 −2,62 = 36𝑎 + 6𝑏 + 𝑐
𝑐 = 0 { 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = −2 36𝑎 + 6𝑏 + 𝑐 = −2,62
Поскольку 𝑐 = 0, я могу исключить его из двух других уравнений, поскольку оно никак на них не влияет.
𝑐 = 0 { 16𝑎 + 4𝑏 = −2 36𝑎 + 6𝑏 = −2,62
Далее я вычисляю параметр 𝑎 в двух нижних примерах методом сложения.
𝑐
𝑐 = 0 {36𝑎 + 6𝑏 = −2,62 24𝑎 = 0,76
𝑎
Затем значение 𝑎 подставляется в оставшееся уравнение с двумя переменными.
𝑐
𝑎
𝑐
𝑎
В результате получаются все значения параметров квадратичной функции и выглядит это так:
𝑦
График полученной функции показан ниже (рис. 4).
(attēlā 4)
Как видно, фантастически полученная функция не описывает качественно положение всех точек на графике, поскольку только 6 из отложенных точек находятся на графике или относительно близко к нему. Я пришел к выводу, что для создания квадратичной функции, качественно описывающей положение всех точек на графике, нельзя выбирать точки только с одной стороны возможной параболы (как я успешно продемонстрировал на предыдущей странице и на рисунке 4), поэтому я выбрал еще три точки, на этот раз точки J (0;0), O(6;-2,62), E (-6,37,-2,56), где точка J будет приблизительной вершиной графа возможная квадратичная функция, но каждая точка O и E будет на своей ветви.
Как я показал на предыдущей странице, я использую ту же версию квадратичной функции с возможностью записи (𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) и использую метод Гаусса для определения новых параметров моей квадратичной функции.
На этот раз, используя интернет-сайт wolframalpha.com, я получаю следующую квадратичную функцию:
𝑦 = −0,067789𝑥2 − 0,029932𝑥
Ввожу полученные функции в приложение "GeoGebra Classic 6" и просматриваю полученный график (рисунок 5).
(attēls 5)
Поскольку я хочу сравнить самостоятельно созданную функцию с созданным уравнением регрессии в этой отдельной работе, я также создал само уравнение регрессии.
На практике уравнение регрессии обычно строят с помощью метода «наименьших квадратов», при котором автор графика пытается построить его с как можно меньшей суммой квадратов разности между координатами y каждой точки и значение координаты y противоположной точки возможной кривой для всех отложенных точек. В этом случае отличным помощником является уже используемое приложение «Geogebra Classic 6», в котором с помощью нескольких кликов и острого слуха на уроках математики можно получить необходимое уравнение регрессии. Во-первых, уже отмеченные мною точки в подразделе "Электронная таблица" раздела "Вид" приложения перезаписывают уже существующие точки (см. рис. 6),
(рисунок 6) Я выбираю эти точки и, нажав на иконку «Анализ переменных» в левом верхнем углу, выбираю опцию «Анализ регрессии с двумя переменными». После этого я установил модель регрессии в виде полинома (в левом нижнем углу только что появившегося нового окна). Полученная модель регрессии (рис. 7), а также уравнение регрессии:
𝑦 = −0,062343𝑥2 − 0,046327𝑥 − 0,449803
(attēls 7)
В отличие от квадратичной функции, которую я создал, используя только три точки, которые, по моему мнению, лучше всего описывают положение всех точек на плоскости, модель регрессии была создана с использованием всех заданных точек, поэтому в отличие от графика функции, который я создал, график уравнения регрессии представляет собой не предполагается через как минимум три точки (для созданной мной квадратичной функции так и должно быть, потому что я создал ее, используя соответствующие три точки, через которые должен проходить график квадратичной функции, как показано на рисунке 5; если это не бывает, то нужно искать ошибку в расчетах ваших параметров).
Если сравнить два получившихся графика — график уравнения, которое я создал, и график уравнения регрессии, то можно сделать вывод, что
1) Мне удалось получить коэффициенты при 𝑎 даже относительно близко, потому что для созданной мной функции параметр 𝑎 = −0,067789, а для уравнения регрессии параметр 𝑎 = −0,062343. Только приблизительно 0,0055456 (расчет: |−0,067789| − |−0,062343| =
0,0055456 ) большая разница между коэффициентами двух выражений, отвечающих за разброс и направление ветвей графика (в данном случае параболы);
1) Параметры 𝑏 и 𝑐 оказались в выражениях сильно отличными от изначально упомянутого параметра 𝑎. В созданной мной функции параметр 𝑏 = -0,029932 и параметр 𝑐 = 0, но в уравнении регрессии 𝑏 = -0,046327 и 𝑐 = -0,449803. Сравнивая различия между двумя парами параметров, можно увидеть, что 𝑏 для уравнения приведения на 0,016395 (расчет – как указано для параметра 𝑎 ) меньше, чем для моей квадратичной функции. Конечно, это изменение может показаться небольшим, но помните, что изменение 𝑎 между двумя функциями было лишь немногим больше половины изменения 𝑏, так что условно говоря, изменение 𝑏 между моим уравнением и уравнением регрессии, сгенерированным GeoGebra Classic 6 довольно большой. С другой стороны, изменение параметра 𝑐 между двумя уравнениями еще больше – оно почти в четыре раза превышает величину изменения 𝑏, а точнее 0,046327 (расчет – точно так же, как указано для параметра 𝑎) на какой соответствующий параметр уравнения регрессии меньше;
2) хотя построенный мною график квадратичной функции проходит через три точки, положение точек в системе координат лучше представить уравнением регрессии, т.к. он создается с использованием всех отложенных точек, а не только трех из них, поэтому он лучше способен описать их все, чем граф , учитывающий только три из заданных точек;
3) глядя на графики двух уравнений, можно сделать вывод, что было не совсем правильным ходом мысли выбирать изображение, изображающее гору или вулкан со склонами, которые скорее напоминают две экспоненциальные функции, поставленные напротив (экспоненциальная функция с Положительный x можно было бы поместить на левой стороне вершины горы, а на правой стороне вершины горы – показательную функцию, идентичную только что упомянутой, только с -x). Скорее нужно было выбирать, например, щитовые вулканы, склоны которых больше похожи на график квадратичной функции, или на параболу с направленными вниз ответвлениями (анатомию щитовых вулканов см. на рис. 8 на его иллюстрации)
iii
(attēls 8)
В заключение хотелось определить, каким многочленом минимальной степени можно будет максимально качественно описать точки, размещенные в координатной плоскости. Для этого в уравнении регрессии и окне его модели я изменяю количество шагов соответствующей переменной уравнения, изменяя его по одному шагу за раз. Я пришел к выводу, что теоретически положение точек лучше всего описывается
Уравнение регрессии 8-й степени (см. рис. 9).
(attēls 9)
Как видно на рисунке 9, график уравнения регрессии восьмой степени качественно описывает положение отмеченных точек – график наиболее близок ко всем точкам по сравнению с уравнениями регрессии более низкой степени, которые я рассматривал ранее, он даже пересекает несколько из них, но тот факт, что соответствующий график между точками с двумя наименьшими и для двух наибольших значений координаты x, резко меняет направление - между точками с двумя наименьшими значениями x график внезапно поворачивает из убывающей к возрастающей, хотя график уравнения должен представлять собой только возрастающий график (из-за формы склона горы к его вершине) до точки с координатой x 0 (соответствующей вершины), откуда график до точка с наибольшим значением x должна быть нисходящей из-за формы склона холма, но между двумя точками с наибольшими значениями x график меняется с нисходящего на восходящий. Эти описанные тренды неправильно описывают форму горы Фудзи - в самом конце ее склонов нет долин, переходящих в другие горы по краям рисунка 1, поэтому я отбрасываю уравнение регрессии восьмой степени и смотрю на другие.
Уравнение регрессии 9-й степени имеет ту же проблему, что и указанная в предыдущем пункте, поэтому, поскольку приложение «GeoGebra Classic 6» не позволяет просматривать уравнения регрессии с более высокой степенью, чем 9-я степень, рассмотрение какой из регрессий уравнения с более низкой полиномиальной степенью описывали бы размещение точки с наивысшим качеством, но не вызывали бы такой же проблемы, как только что упомянутая.
После исследований я пришел к выводу, что наилучшим способом описания положения точек в системе координат является уравнение регрессии с полиномом 7-й степени — в нем интервалы роста и спада графика примерно соответствуют горе Фудзи, показанной на рисунке 1. (до вершины горы, значит график растет до точки с координатой x, после вершины горы или после точки с координатой x 0 график уменьшается), а также сам график описывает положение задержанных точек достаточно качественно, даже пересекая несколько из них (см. рис. 10).
(attēls 10)
Правда, график как бы даже не касается точки с координатой x 0, но лучшего представления точек нельзя было добиться с уравнениями регрессии, имевшими меньшую полиномиальную степень в уравнении регрессии (обычно график располагался относительно далеко от каждой из запаздывающих точек, но для некоторых уравнений регрессии с меньшей степенью полиномов, чем 7, например, со степенями 5 и 4, возникала и уже упомянутая проблема, которая формировалась для уравнения регрессии с полиномом степени 8) . Разумеется, в итоге я получил еще и уравнение регрессии с полиномом 7-й степени:
𝑦 = 0,00000056603𝑥7 − 0,00013452𝑥6 − 0,00026353𝑥5 + 0,0093855𝑥4
+ 0,012165𝑥3 − 0,2289𝑥2 − 0,15256𝑥 − 0,089360
i https://www.bbc.com/news/world - asia - 23013087
ii https://www.wolframalpha.com/input/?i=systems+of+equations+calculator&assumption=%7B%22F%22%2C+
%22SolveSystemOf3EquationsCalculator%22%2C+%22equation1%22%7D+ %3E%220a%2B0b%2Bc%3D0%22&assumption=%22FSelect%22+ -
%3E+%7B%7B%22SolveSystemOf3EquationsCalculator%22%7D%7D&assumption=%7B%22F%22%2C+%22Solv eSystemOf3EquationsCalculator%22%2C+%22equation2%22%7D+ - %3E%2236a%2B6b%2Bc%3D -
2.62%22&assumption=%7B%22F%22%2C+%22SolveSystemOf3EquationsCalculator%22%2C+%22equation3%2 2%7D+ - %3E%22%28 - 6.37%29%5E2a - 6.37b%2Bc%3D - 2.56%22 iii https://o.quizlet.com/XRzv0wPdHZylWC1llJHA9A_b.jpg