data analysis hw

pbiner

LECTURECLASS418FEB211.pptx

Home >Mathematics homework help >Statistics homework help >data analysis hw

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

02-18-2021

Lecture Class 4

Standard Normal Distribution & z-scores

Statistical Estimation Theory

Sampling Distribution & Sampling Error

Standard Error of the Mean

Confidence Intervals for the Mean

The Standard Normal Distribution

A particular normal distribution depends on the population mean μ and population standard deviation σ of the particular population. Thus, there is an infinite number of normal distributions for various μ and σ values.

This meant a lot of work for statisticians before the age of calculators and computers! They would have had to calculate all the y values (probability densities) and integrate the formulas to obtain probabilities for each particular population. So they used a trick: they took the x values of each data set and “standardized” them. This requires just a simple formula, easy to calculate.

A standardized x value is called a z-score. The z-score of an x value is the difference between the x value and the population mean divided by the population standard deviation. The formula to calculate the z-score is: z=(x-μ)/σ.

“Standardizing” or calculating the z-score is like converting the x values to a different unit. Thereby, the distribution of the x values remains unchanged.

There exists only one Standard Normal Distribution (the distribution of z-scores), and thus only one set of y values to be calculated. The individual y values for each z are tabulated in a z-score table, to simplify calculations further.

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

Since the z-score formula subtracts μ and divides by σ, Z values become independent of μ and σ.

Curves for the Standard Normal Distribution

(“z-score distribution” or “z distribution”)

68% +/- 1σ

95% +/- 2σ

99.7% +/- 3σ

Empirical Rule

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

z-score

(Probability Density)

σ=1

μ=0

(Probability p)

(= area under blue curve)

Formula to convert an x value to a z-score (standardizing): z=

Therefore, the standard normal distribution has a mean of 0 and a standard deviation of 1.

Explain with the curve (and possibly one of the IQ curves from last time) what the z score formula does: shift the curve to the zero point and squeeze it (mostly, or expand it) so that the standard deviation is 1. The distribution does not change (as I say in the slide before)

Mention: This is why standardized tests are called standardized tests: because all the test scores are tallied, their mean and standard deviation calculated and the scores are standardized by converting them to z values.

Standard Normal Distribution

PDF -5.333333333333333 -5.2666666666666666 -5.2 -5.1333333333333337 -5.0666666666666664 -5 -4.9333333333333336 -4.8666666666666663 -4.8 -4.7333333333333334 -4.666666666666667 -4.5999999999999996 -4.5333333333333332 -4.4666666666666668 -4.4000000000000004 -4.333333333333333 -4.2666666666666666 -4.2 -4.1333333333333337 -4.0666666666666664 -4 -3.9333333333333331 -3.8666666666666667 -3.8 -3.7333333333333334 -3.6666666666666665 -3.6 -3.5333333333333332 -3.4666666666666668 -3.4 -3.3333333333333335 -3.2666666666666666 -3.2 -3.1333333333333333 -3.0666666666666669 -3 -2.9333333333333331 -2.8666666666666667 -2.8 -2.7333333333333334 -2.6666666666666665 -2.6 -2.5333333333333332 -2.4666666666666668 -2.4 -2.3333333333333335 -2.2666666666666666 -2.2000000000000002 -2.1333333333333333 -2.0666666666666669 -2 -1.9333333333333333 -1.8666666666666667 -1.8 -1.7333333333333334 -1.6666666666666667 -1.6 -1.5333333333333334 -1.4666666666666666 -1.4 -1.3333333333333333 -1.2666666666666666 -1.2 -1.1333333333333333 -1.0666666666666667 -1 -0.93333333333333335 -0.8666666666666667 -0.8 -0.73333333333333328 -0.66666666666666663 -0.6 -0.53333333333333333 -0.46666666666666667 -0.4 -0.33333333333333331 -0.26666666666666666 -0.2 -0.13333333333333333 -6.6666666666666666E-2 0 6.6666666666666666E-2 0.13333333333333333 0.2 0.26666666666666666 0.33333333333333331 0.4 0.46666666666666667 0.53333333333333333 0.6 0.66666666666666663 0.73333333333333328 0.8 0.8666666666666667 0.93333333333333335 1 1.0666666666666667 1.1333333333333333 1.2 1.2666666666666666 1.3333333333333333 1.4 1.4666666666666666 1.5333333333333334 1.6 1.6666666666666667 1.7333333333333334 1.8 1.8666666666666667 1.9333333333333333 2 2.0666666666666669 2.1333333333333333 2.2000000000000002 2.2666666666666666 2.3333333333333335 2.4 2.4666666666666668 2.5333333333333332 2.6 2.6666666666666665 2.7333333333333334 2.8 2.8666666666666667 2.9333333333333331 3 3.0666666666666669 3.1333333333333333 3.2 3.2666666666666666 3.3333333333333335 3.4 3.4666666666666668 3.5333333333333332 3.6 3.6666666666666665 3.7333333333333334 3.8 3.8666666666666667 3.9333333333333331 4 4.0666666666666664 4.1333333333333337 4.2 4.2666666666666666 4.333333333333333 4.4000000000000004 4.4666666666666668 4.5333333333333332 4.5999999999999996 4.666666666666667 4.7333333333333334 4.8 4.8666666666666663 4.9333333333333336 5 2.6563019085219125E-7 3.7820577085732377E-7 5.3610353446976145E-7 7.5655236292768083E-7 1.0629164194304422E-6 1.4867195147342977E-6 2.0702784929206175E-6 2.8701084098854503E-6 3.9612990910320753E-6 5.4431057208800876E-6 7.4460458706299902E-6 1.0140852065486758E-5 1.3749692623443371E-5 1.8560143689217814E-5 2.4942471290053535E-5 3.3370862395638422E-5 4.4449326168775807E-5 5.8943067756539855E-5 7.7816212980367556E-5 1.0227682788078474E-4 1.3383022576488537E-4 1.7434157841536343E-4 2.261088384036847E-4 2.9194692579146027E-4 3.7528402371763E-4 4.802706516208207E-4 6.119019301137719E-4 7.7615310620890888E-4 9.8012796127537193E-4 1.2322191684730199E-3 1.5422789962911052E-3 1.9217979693520089E-3 2.3840882014648404E-3 2.9444671203833592E-3 3.6204362280192869E-3 4.4318484119380075E-3 5.4010561811943802E-3 6.5530320890135217E-3 7.9154515829799686E-3 9.5187276553371902E-3 1.1395986023797442E-2 1.3582969233685613E-2 1.6117858113648992E-2 1.9040999515650261E-2 2.2394530294842899E-2 2.6221889093709483E-2 3.0567209727885489E-2 3.5474592846231424E-2 4.0987256045222194E-2 4.7146566715871571E-2 5.3990966513188063E-2 6.1554801349347273E-2 6.9867076070915177E-2 7.8950158300894149E-2 8.8818461090591855E-2 9.9477138792748679E-2 0.11092083467945554 0.12313252202584955 0.13608248241227811 0.14972746563574488 0.16401007467599363 0.17885841649454054 0.19418605498321295 0.20989229612472426 0.22586282746712449 0.24197072451914337 0.25807782590323769 0.27403646739702842 0.28969155276148273 0.30488292696051716 0.31944800552235225 0.33322460289179967 0.34605389317692292 0.35778342916796896 0.36827014030332333 0.37738322769299315 0.38500687459601396 0.39104269397545588 0.39541184088581771 0.39805672631395222 0.3989422804014327 0.39805672631395222 0.39541184088581771 0.39104269397545588 0.38500687459601396 0.37738322769299315 0.36827014030332333 0.35778342916796896 0.34605389317692292 0.33322460289179967 0.31944800552235225 0.30488292696051716 0.28969155276148273 0.27403646739702842 0.25807782590323769 0.24197072451914337 0.22586282746712449 0.20989229612472426 0.19418605498321295 0.17885841649454054 0.16401007467599363 0.14972746563574488 0.13608248241227811 0.12313252202584955 0.11092083467945554 9.9477138792748679E-2 8.8818461090591855E-2 7.8950158300894149E-2 6.9867076070915177E-2 6.1554801349347273E-2 5.3990966513188063E-2 4.7146566715871571E-2 4.0987256045222194E-2 3.5474592846231424E-2 3.0567209727885489E-2 2.6221889093709483E-2 2.2394530294842899E-2 1.9040999515650261E-2 1.6117858113648992E-2 1.3582969233685613E-2 1.1395986023797442E-2 9.5187276553371902E-3 7.9154515829799686E-3 6.5530320890135217E-3 5.4010561811943802E-3 4.4318484119380075E-3 3.6204362280192869E-3 2.9444671203833592E-3 2.3840882014648404E-3 1.9217979693520089E-3 1.5422789962911052E-3 1.2322191684730199E-3 9.8012796127537193E-4 7.7615310620890888E-4 6.119019301137719E-4 4.802706516208207E-4 3.7528402371763E-4 2.9194692579146027E-4 2.261088384036847E-4 1.7434157841536343E-4 1.3383022576488537E-4 1.0227682788078474E-4 7.7816212980367556E-5 5.8943067756539855E-5 4.4449326168775807E-5 3.3370862395638422E-5 2.4942471290053535E-5 1.8560143689217814E-5 1.3749692623443371E-5 1.0140852065486758E-5 7.4460458706299902E-6 5.4431057208800876E-6 3.9612990910320753E-6 2.8701084098854503E-6 2.0702784929206 175E-6 1.4867195147342977E-6 Cumulative function -5.333333333333333 -5.2666666666666666 -5.2 -5.1333333333333337 -5.0666666666666664 -5 -4.9333333333333336 -4.8666666666666663 -4.8 -4.7333333333333334 -4.666666666666667 -4.5999999999999996 -4.5333333333333332 -4.4666666666666668 -4.4000000000000004 -4.333333333333333 -4.2666666666666666 -4.2 -4.1333333333333337 -4.0666666666666664 -4 -3.9333 333333333331 -3.8666666666666667 -3.8 -3.7333333333333334 -3.6666666666666665 -3.6 -3.5333333333333332 -3.4666666666666668 -3.4 -3.3333333333333335 -3.2666666666666666 -3.2 -3.1333333333333333 -3.0666666666666669 -3 -2.9333333333333331 -2.8666666666666667 -2.8 -2.7333333333333334 -2.6666666666666665 -2.6 -2.5333333333333332 -2.4666666666666668 -2.4 -2.3333333333333335 -2.2666666666666666 -2.2000000000000002 -2.1333333333333333 -2.0666666666666669 -2 -1.9333333333333333 -1.8666666666666667 -1.8 -1.7333333333333334 -1.6666666666666667 -1.6 -1.5333333333333334 -1.4666666666666666 -1.4 -1.3333333333333333 -1.2666666666666666 -1.2 -1.1333333333333333 -1.066666666666666 7 -1 -0.93333333333333335 -0.8666666666666667 -0.8 -0.73333333333333328 -0.66666666666666663 -0.6 -0.53333333333333333 -0.46666666666666667 -0.4 -0.33333333333333331 -0.26666666666666666 -0.2 -0.13333333333333333 -6.6666666666666666E-2 0 6.6666666666666666E-2 0.13333333333333333 0.2 0.26666666666666666 0.33333333333333331 0.4 0.46666666666666667 0.53333333333333333 0.6 0.66666666666666663 0.73333333333333328 0.8 0.8666666666666667 0.93333333333333335 1 1.0666666666666667 1.1333333333333333 1.2 1.2666666666666666 1.3333333333333333 1.4 1.4666666666666666 1.5333333333333334 1.6 1.6666666666666667 1.7333333333333334 1.8 1.8666 666666666667 1.9333333333333333 2 2.0666666666666669 2.1333333333333333 2.2000000000000002 2.2666666666666666 2.3333333333333335 2.4 2.4666666666666668 2.5333333333333332 2.6 2.6666666666666665 2.7333333333333334 2.8 2.8666666666666667 2.9333333333333331 3 3.0666666666666669 3.1333333333333333 3.2 3.2666666666666666 3.3333333333333335 3.4 3.4666666666666668 3.5333333333333332 3.6 3.6666666666666665 3.7333333333333334 3.8 3.8666666666666667 3.9333333333333331 4 4.0666666666666664 4.1333333333333337 4.2 4.2666666666666666 4.333333333333333 4.4000000000000004 4.4666666666666668 4.5333333333333332 4.5999999999999996 4.666666666666667 4.7333333333333334 4.8 4.8666666666666663 4.9333333333333336 5 4.8213033651141262E-8 6.9461561463440114E-8 9.9644263169334635E-8 1.4232755348065249E-7 2.0242114795249817E-7 2.8665157187919333E-7 4.041901151987933E-7 5.674810724272158E-7 7.933281519755948E-7 1.1043116444235964E-6 1.530626736531063E-6 2.1124547025028533E-6 2.9030040605562977E-6 3.9723886033777357E-6 5.4125439077038416E-6 7.3434238368946899E-6 9.9207638855547508E-6 1.3345749015906309E-5 1.7876979701243996E-5 2.3845190710188164E-5 3.1671241833119857E-5 4.1887966890061208E-5 5.5166535027278632E-5 7.234804392511999E-5 9.4481124804330071E-5 1.228663899651522E-4 1.5910859015753364E-4 2.0517736570513207E-4 2.6347746559529916E-4 3.369292656768808E-4 4.2906033319683703E-4 5.44 10865246714169E-4 6.8713793791584719E-4 8.6416520909806847E-4 1.0823004813931892E-3 1.3498980316300933E-3 1.6767182274731588E-3 2.0740983635940896E-3 2.5551303304279312E-3 3.1348422607054881E-3 3.8303805675897356E-3 4.6611880237187476E-3 5.6491727555606384E-3 6.8188622701760961E-3 8.1975359245961311E-3 9.8153286286453353E-3 1.1705298080558344E-2 1.3903447513498597E-2 1.6448695822745323E-2 1.9382787088818593E-2 2.2750131948179191E-2 2.6597574021009637E-2 3.0974075706740569E-2 3.5930319112925789E-2 4.1518219688779105E-2 4.7790352272814703E-2 5.4799291699557967E-2 6.2596872790906796E-2 7.1233377413986096E-2 8.0756659233771053E-2 9.1211219725867876E-2 0.10263725183213576 0.11506967022170828 0.12853714934241495 0.14306119219550908 0.15865525393145699 0.17532394485222941 0.1930623371419069 0.21185539858339661 0.231677574634798 18 0.25249253754692291 0.27425311775007355 0.29690142860385121 0.32036919090127036 0.34457825838967576 0.36944134018176361 0.39486291046402511 0.42074029056089696 0.44696488337638601 0.47342353569963491 0.5 0.52657646430036509 0.55303511662361404 0.57925970943910299 0.60513708953597489 0.63055865981823644 0.65542174161032429 0.67963080909872964 0.70309857139614884 0.72574688224992645 0.74750746245307709 0.76832242536520179 0.78814460141660336 0.8069376628580931 0.82467605514777054 0.84134474606854304 0.85693880780449094 0.871462850657585 0.88493032977829178 0.89736274816786421 0.90878878027413212 0.91924334076622893 0.92876662258601395 0.93740312720909325 0.94520070830044201 0.9522096477271853 0.95848178031122089 0.96406968088707423 0.9690259242932594 0.9734024259789904 0.97724986805182079 0.98061721291118142 0.98355130417725467 0.98609655248650141 0.98829470191944169 0.99018467137135469 0.99180246407540384 0.99318113772982386 0.99435082724443935 0.99533881197628127 0.99616961943241022 0.99686515773929452 0.99744486966957202 0.99792590163640593 0.99832328177252683 0.9986501019683699 0.99891769951860676 0.99913583479090196 0.99931286206208414 0.99945589134753288 0.99957093966680322 0.99966307073432314 0.9997365225344047 0.99979482263429487 0.99984089140984245 0.99987713361003483 0.99990551887519563 0.99992765195607491 0.99994483346497276 0.99995811203310991 0.99996832875816688 0.99997615480928981 0.99998212302029876 0.9999866542509841 0.99999007923611449 0.9999926565761631 0.99999458745609227 0.99999602761139661 0.99999709699593942 0.9999978875452975 0.99999846937326342 0.99999889568835554 0.99999920667184805 0.99999943251892753 0.99999959580988484 0.99999971334842808

Standard Normal Distribution

Working with the z-score table

For each z-score the z-score table contains the numeric p value giving the probability that z-scores in the distribution are smaller than a given z-score.

Most versions of the z-score table range from ~ -3.5 to + 3.5.

Mathematically, the p value represents the integral of the probability density function from minus infinity to the z value in question, which is the area under the probability curve to the LEFT of the z value.

p value for each z-score

Example: for z=0.67 -> p=0.7486

Partial z-score table (standard normal probabilities)

z up to 1st

decimal

2nd decimal for z

-5.333333333333333 -5.2666666666666666 -5.2 -5.1333333333333337 -5.0666666666666664 -5 -4.9333333333333336 -4.8666666666666663 -4.8 -4.7333333333333334 -4.666666666666667 -4.5999999999999996 -4.5333333333333332 -4.4666666666666668 -4.4000000000000004 -4.333333333333333 -4.2666666666666666 -4.2 -4.1333333333333337 -4.0666666666666664 -4 -3.9333333333333331 -3.8666666666666667 -3.8 -3.7333333333333334 -3.6666666666666665 -3.6 -3.5333333333333332 -3.4666666666666668 -3.4 -3.3333333333333335 -3.2666666666666666 -3.2 -3.1333333333333333 -3.0666666666666669 -3 -2.9333333333333331 -2.8666666666666667 -2.8 -2.7333333333333334 -2.6666666666666665 -2.6 -2.5333333333333332 -2.4666666666666668 -2.4 -2.3333333333333335 -2.2666666666666666 -2.2000000000000002 -2.1333333333333333 -2.0666666666666669 -2 -1.9333333333333333 -1.8666666666666667 -1.8 -1.7333333333333334 -1.6666666666666667 -1.6 -1.5333333333333334 -1.4666666666666666 -1.4 -1.3333333333333333 -1.2666666666666666 -1.2 -1.1333333333333333 -1.0666666666666667 -1 -0.93333333333333335 -0.8666666666666667 -0.8 -0.73333333333333328 -0.66666666666666663 -0.6 -0.53333333333333333 -0.46666666666666667 -0.4 -0.33333333333333331 -0.26666666666666666 -0.2 -0.13333333333333333 -6.6666666666666666E-2 0 6.6666666666666666E-2 0.13333333333333333 0.2 0.26666666666666666 0.33333333333333331 0.4 0.46666666666666667 0.53333333333333333 0.6 0.66666666666666663 0.73333333333333328 0.8 0.8666666666666667 0.93333333333333335 1 1.0666666666666667 1.1333333333333333 1.2 1.2666666666666666 1.3333333333333333 1.4 1.4666666666666666 1.5333333333333334 1.6 1.6666666666666667 1.7333333333333334 1.8 1.8666666666666667 1.9333333333333333 2 2.0666666666666669 2.1333333333333333 2.2000000000000002 2.2666666666666666 2.3333333333333335 2.4 2.4666666666666668 2.5333333333333332 2.6 2.6666666666666665 2.7333333333333334 2.8 2.8666666666666667 2.9333333333333331 3 3.0666666666666669 3.1333333333333333 3.2 3.2666666666666666 3.3333333333333335 3.4 3.4666666666666668 3.5333333333333332 3.6 3.6666666666666665 3.7333333333333334 3.8 3.8666666666666667 3.9333333333333331 4 4.0666666666666664 4.1333333333333337 4.2 4.2666666666666666 4.333333333333333 4.4000000000000004 4.4666666666666668 4.5333333333333332 4.5999999999999996 4.666666666666667 4.7333333333333334 4.8 4.8666666666666663 4.9333333333333336 5 2.6563019085219125E-7 3.7820577085732377E-7 5.3610353446976145E-7 7.5655236292768083E-7 1.0629164194304422E-6 1.4867195147342977E-6 2.0702784929206175E-6 2.8701084098854503E-6 3.9612990910320753E-6 5.4431057208800876E-6 7.4460458706299902E-6 1.0140852065486758E-5 1.3749692623443371E-5 1.8560143689217814E-5 2.4942471290053535E-5 3.3370862395638422E-5 4.4449326168775807E-5 5.8943067756539855E-5 7.7816212980367556E-5 1.0227682788078474E-4 1.3383022576488537E-4 1.7434157841536343E-4 2.261088384036847E-4 2.9194692579146027E-4 3.7528402371763E-4 4.802706516208207E-4 6.119019301137719E-4 7.7615310620890888E-4 9.8012796127537193E-4 1.232219168 4730199E-3 1.5422789962911052E-3 1.9217979693520089E-3 2.3840882014648404E-3 2.9444671203833592E-3 3.6204362280192869E-3 4.4318484119380075E-3 5.4010561811943802E-3 6.5530320890135217E-3 7.9154515829799686E-3 9.5187276553371902E-3 1.1395986023797442E-2 1.3582969233685613E-2 1.6117858113648992E-2 1.9040999515650261E-2 2.2394530294842899E-2 2.6221889093709483E-2 3.0567209727885489E-2 3.5474592846231424E-2 4.0987256045222194E-2 4.7146566715871571E-2 5.3990966513188063E-2 6.1554801349347273E-2 6.9867076070915177E-2 7.8950158300894149E-2 8.8818461090591855E-2 9.9477138792748679E-2 0.11092083467945554 0.12313252202584955 0.13608248241227811 0.14972746563574488 0.16401007467599363 0.17885841649454054 0.19418605498321295 0.20989229612472426 0.22586282746712449 0.24197072451914337 0.25807782590323769 0.27403646739702842 0.28969155276148273 0.30488292696051716 0.31944800552235225 0.33322460289179967 0.34605389317692292 0.35778342916796896 0.36827014030332333 0.37738322769299315 0.38500687459601396 0.39104269397545588 0.39541184088581771 0.39805672631395222 0.3989422804014327 0.39805672631395222 0.39541184088581771 0.39104269397545588 0.38500687459601396 0.37738322769299315 0.36827014030332333 0.35778342916796896 0.34605389317692292 0.33322460289179967 0.31944800552235225 0.30488292696051716 0.28969155276148273 0.27403646739702842 0.25807782590323769 0.24197072451914337 0.22586282746712449 0.20989229612472426 0.19418605498321295 0.17885841649454054 0.16401007467599363 0.14972746563574488 0.13608248241227811 0.12313252202584955 0.11092083467945554 9.9477138792748679E-2 8.8818461090591855E-2 7.8950158300894149E-2 6.9867076070915177E-2 6.1554801349347273E-2 5.3990966513188063E-2 4.7146566715871571E-2 4.0987256045222194E-2 3.5474592846231424E-2 3.0567209727885489E-2 2.6221889093709483E-2 2.2394530294842899E-2 1.9040999515650261E-2 1.6117858113648992E-2 1.3582969233685613E-2 1.1395986023797442E-2 9.5187276553371902E-3 7.9154515829799686E-3 6.5530320890135217E-3 5.4010561811943802E-3 4.4318484119380075E-3 3.6204362280192869E-3 2.9444671203833592E-3 2.3840882014648404E-3 1.9217979693520089E-3 1.5422789962911052E-3 1.2322191684730199E-3 9.8012796127537193E-4 7.7615310620890888E-4 6.119019301137719E-4 4.802706516208207E-4 3.7528402371763E-4 2.9194692579146027E-4 2.261088384036847E-4 1.7434157841536343E-4 1.3383022576488537E-4 1.0227682788078474E-4 7.7816212980367556E-5 5.8943067756539855E-5 4.4449326168775807E-5 3.3370862395638422E-5 2.4942471290053535E-5 1.8560143689217814E-5 1.3749692623443371E-5 1.0140852065486758E-5 7.4460458706299902E-6 5.4431057208800876E-6 3.9612990910320753E-6 2.8701084098854503E-6 2.0702784929206175E-6 1.4867195147342977E-6

For z=0.67 we find p=0.7486 in the table (see previous slide).

That means that the probability of finding z-scores smaller than 0.67 is 0.7486 or 75%.

In other words: if your exam score has a z-scores of 0.67 you are better than 75% of all students, that is, you are in the 75th percentile.

Example of p value interpretation

=0.67

p=0.75

(Probability Density)

(Probability p)

Remember:

the p value of the green curve represents the area under the blue curve for any given z value)

Standard Normal Distribution

Finding probabilities from the z table

Find the probability p that a z-score is less than Z (maybe an exam score on a standardized exam). This is the problem from the example in the last slide.

Mathematical notation: find p(z < Z)

Translation: what’s the percent of z scores that are smaller than Z ?

(same as: what is the percentile of Z within the population?)

What we are looking for: Area to the left of Z.

Strategy: read p directly from the z-score table, since the p value from z-score table represents the area under the curve to the left of the z score, i.e. the probability that a z value is smaller than Z. Multiply by 100 to get %age.

Strategies to solve three kinds of probability questions:

Finding the probability that a z value is “less than” a given Z, “greater than” a given Z or lies “in between” two given Z values, Z1 and Z2

1.) “Less-than” probability -> p = p left (“p left” is the value given in the z table)

P left

“less than z”

Find the probability that a z-score is larger than Z.

Mathematical notation p(z > Z)

Translation: what’s the percent of z scores that are larger than Z?

What we are looking for: Area to the right of Z.

Strategy: use the fact that the area under the entire curve is 1. So the area to the left and right of a z value also has to be 1.

Thus: pright = (1- pleft ) with pleft being the value from the table.

“In-between” probability -> p = (p2 left – p1 left)

Find the probability that a z-score is in between two particular z-scores (z1 and z2).

Mathematical notation p(z1 < z < z2 )

What we are looking for: Area in between z1 and z2

Strategy: The area in between two z values is the area to the left of the larger z value minus the area to the left of the lower z value. p=p(z2) – p(z1)

p right =

1- p left

P left from

z-score table

“Greater-than” probability -> p = p right = (1 – p left)

P1 left

P2 left

The “less-than” probability in a z-score table is of course the y value of the cumulative z distribution function (the area under the z distribution curve from the left).

You already know that this “less-than” probability can be calculated using the EXCEL formula NORM.DIST(z,0,1,TRUE),

0 being the mean and 1 the standard deviation of the standard normal distribution.

However, EXCEL makes it even simpler: it also has a function for the standard normal distribution: NORM.S.DIST(z,TRUE)

Working with the standard normal distribution and the z table in Excel

Z value	“Less-than” probability (cumulative from left)
	NORM.S.DIST (z, TRUE)
-3.50	.0002
-3.49	.0002
….
-1.0	.1587
…
0	.5
…..
+1.0	.8413
..
+3.5	.9998

(So you don’t even need to know and enter the mean and standard deviation for the standard normal distribution.)

POPULATION

Sampling

Sample

Data

Experiment,

measurements

Conclusion about sample

Conclusion about population

Value and distribution of variable for sample

Likely value of variable for population

Statistical Inference Part I: Statistical Estimation Theory

STATISTICAL ESTIMATION THEORY

STATISTICAL DECISION THEORY

STATISTICAL INFERENCE

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

Sample

Descriptive Statistics

Statistical estimation theory

Estimates how precisely a sample statistic (like a sample mean) reflects the population parameter (like the population mean).

The estimates are based on an assumed sampling distribution and resulting sampling error.

Uses two main parameters to indicate precision and probability of being correct:

Standard Error

Confidence Interval, defined by a margin of error

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

Results from 6 samples of 40 random IQs (class assignment)

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

Histogram - Sample 1

Frequency 60 70 80 90 100 110 120 130 More 0 1 1 5 11 12 9 1 0

Bin

Frequency

Histogram - Sample 2

Frequency 60 70 80 90 100 110 120 130 More 0 0 0 8 15 8 7 1 1

Bin

Frequency

Histogram -Sample 3

Frequency 60 70 80 90 100 110 120 130 More 0 0 2 6 12 10 6 2 2

Bin

Frequency

Histogram - Sample 4

Frequency 60 70 80 90 100 110 120 130 More 0 1 1 5 11 12 9 1 0

Frequency

Histogram - Sample 5

Frequency 60 70 80 90 100 110 120 130 More 0 1 3 10 5 12 6 3 0

Frequency

Histogram - Sample 6

Frequency 60 70 80 90 100 110 120 130 More 0 1 3 8 13 8 5 2 0

Frequency

SAMPLE	#1	#2	#3	#4	#5	#6	Mean of 6 means
sample mean	100.7	100.7	102.7	100.7	98.5	97.0	100.0
median	101.0	100.0	102.0	101.0	101.0	97.0
Mode	94.0	100.0	83.0	94.0	112.0	94.0
sample SD	11.6	11.6	15.4	11.6	14.6	13.0	13.0
minimum	69.0	81.0	77.0	69.0	69.0	64.0
maximum	126.0	133.0	140.0	126.0	124.0	126.0
range	57.0	52.0	63.0	57.0	55.0	62.0
Q1	93.75	92.8	92.8	93.8	86.0	86.8
Q3	110.25	107.8	110.5	110.3	110.0	103.0

Results from 6 samples of 40 random IQs (class assignment)

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

SAMPLE	#1	#2	#3	#4	#5	#6
sample SD	11.6	11.6	15.4	11.6	14.6	13.0
Standard error of the mean (SEM)	1.83	1.84	2.43	1.83	2.30	2.05

The standard deviation of the sample means is called:

Histogram -Sample 3

Frequency 60 70 80 90 100 110 120 130 More 0 0 2 6 12 10 6 2 2

Bin

Frequency

Distribution of sample means

sample means 70 75 80 85 90 95 98 101 103 110 115 120 125 130 0 0 0 0 0 0 2 3 1 0 0 0 0 0 70 75 80 85 90 95 98 101 103 110 115 120 125 130 70 75 80 85 90 95 98 101 103 110 115

Sample #	Sample size	mean	STDEV s
1	40		S1
2	40		S2
3	40		S3
4	40		S4
5	40		S5
6	40		S6

Defining sampling distribution and sampling error

Population statistic

Examples: mean: μ

Standard Deviation: σ

Sample

Sample data

Sampling distribution:

The variation of a summary statistic (mean, SD, etc.) between samples

Sampling error:

The difference between a population parameter and the corresponding summary statistic from a sample drawn from it. Example: Sampling error for the mean of sample 1 =

We can estimate a range for the sampling error for a particular summary statistic if we can predict the sampling distribution for the corresponding parameter.

Caveat: since the population mean is unknown, we can’t calculate the sampling error, only estimate it! If we knew the population parameter we wouldn’t need sampling.

Sampling Distribution of

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

The sampling distribution of sample means

The standard deviation of sample means is called the “Standard error of the mean” (SEM).

(Probability Density)

The population mean μ is the most frequently observed sample mean.

1 σ

Standard error of the mean (SEM)

Helpful way to look at this:

A sample mean is just another statistical variable that has a distribution (the sampling distribution), a mean, and a standard deviation (called the standard error).

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

Sampling Distribution of Sample Means

-5.333333333333333 -5.2666666666666666 -5.2 -5.1333333333333337 -5.0666666666666664 -5 -4.9333333333333336 -4.8666666666666663 -4.8 -4.7333333333333334 -4.666666666666667 -4.5999999999999996 -4.5333333333333332 -4.4666666666666668 -4.4000000000000004 -4.333333333333333 -4.2666666666666666 -4.2 -4.1333333333333337 -4.0666666666666664 -4 -3.9333333333333331 -3.8666666666666667 -3.8 -3.7333333333333334 -3.6666666666666665 -3.6 -3.5333333333333332 -3.4666666666666668 -3.4 -3.3333333333333335 -3.2666666666666666 -3.2 -3.1333333333333333 -3.0666666666666669 -3 -2.9333333333333331 -2.8666666666666667 -2.8 -2.7333333333333334 -2.6666666666666665 -2.6 -2.5333333333333332 -2.4666666666666668 -2.4 -2.3333333333333335 -2.2666666666666666 -2.2000000000000002 -2.1333333333333333 -2.0666666666666669 -2 -1.9333333333333333 -1.8666666666666667 -1.8 -1.7333333333333334 -1.6666666666666667 -1.6 -1.5333333333333334 -1.4666666666666666 -1.4 -1.3333333333333333 -1.2666666666666666 -1.2 -1.1333333333333333 -1.0666666666666667 -1 -0.93333333333333335 -0.8666666666666667 -0.8 -0.73333333333333328 -0.66666666666666663 -0.6 -0.53333333333333333 -0.46666666666666667 -0.4 -0.33333333333333331 -0.26666666666666666 -0.2 -0.13333333333333333 -6.6666666666666666E-2 0 6.6666666666666666E-2 0.13333333333333333 0.2 0.26666666666666666 0.33333333333333331 0.4 0.46666666666666667 0.53333333333333333 0.6 0.66666666666666663 0.73333333333333328 0.8 0.8666666666666667 0.93333333333333335 1 1.0666666666666667 1.1333333333333333 1.2 1.2666666666666666 1.3333333333333333 1.4 1.4666666666666666 1.5333333333333334 1.6 1.6666666666666667 1.7333333333333334 1.8 1.8666666666666667 1.9333333333333333 2 2.0666666666666669 2.1333333333333333 2.2000000000000002 2.2666666666666666 2.3333333333333335 2.4 2.4666666666666668 2.5333333333333332 2.6 2.6666666666666665 2.7333333333333334 2.8 2.8666666666666667 2.9333333333333331 3 3.0666666666666669 3.1333333333333333 3.2 3.2666666666666666 3.3333333333333335 3.4 3.4666666666666668 3.5333333333333332 3.6 3.6666666666666665 3.7333333333333334 3.8 3.8666666666666667 3.9333333333333331 4 4.0666666666666664 4.1333333333333337 4.2 4.2666666666666666 4.333333333333333 4.4000000000000004 4.4666666666666668 4.5333333333333332 4.5999999999999996 4.666666666666667 4.7333333333333334 4.8 4.8666666666666663 4.9333333333333336 5 2.656301908521912 5E-7 3.7820577085732377E-7 5.3610353446976145E-7 7.5655236292768083E-7 1.0629164194304422E-6 1.4867195147342977E-6 2.0702784929206175E-6 2.8701084098854503E-6 3.9612990910320753E-6 5.4431057208800876E-6 7.4460458706299902E-6 1.0140852065486758E-5 1.3749692623443371E-5 1.8560143689217814E-5 2.4942471290053535E-5 3.3370862395638422E-5 4.4449326168775807E-5 5.8943067756539855E-5 7.7816212980367556E-5 1.0227682788078474E-4 1.3383022576488537E-4 1.7434157841536343E-4 2.261088384036847E-4 2.9194692579146027E-4 3.7528402371763E-4 4.802706516208207E-4 6.119019301137719E-4 7.7615310620890888E-4 9.8012796127537193E-4 1.2322191684730199E-3 1.5422789962911052E-3 1.9217979693520089E-3 2.3840882014648404E-3 2.9444671203833592E-3 3.6204362280192869E-3 4.4318484119380075E-3 5.4010561811943802E-3 6.5530320890135217E-3 7.9154515829799686E-3 9.5187276553371902E-3 1.1395986023797442E-2 1.3582969233685613E-2 1.6117858113648992E-2 1.9040999515650261E-2 2.2394530294842899E-2 2.6221889093709483E-2 3.0567209727885489E-2 3.5474592846231424E-2 4.0987256045222194E-2 4.7146566715871571E-2 5.3990966513188063E-2 6.1554801349347273E-2 6.9867076070915177E-2 7.8950158300894149E-2 8.8818461090591855E-2 9.9477138792748679E-2 0.11092083467945554 0.12313252202584955 0.13608248241227811 0.14972746563574488 0.16401007467599363 0.17885841649454054 0.19418605498321295 0.20989229612472426 0.22586282746712449 0.24197072451914337 0.25807782590323769 0.27403646739702842 0.28969155276148273 0.30488292696051716 0.31944800552235225 0.33322460289179967 0.34605389317692292 0.35778342916796896 0.36827014030332333 0.37738322769299315 0.38500687459601396 0.3910426939 7545588 0.39541184088581771 0.39805672631395222 0.3989422804014327 0.39805672631395222 0.39541184088581771 0.39104269397545588 0.38500687459601396 0.37738322769299315 0.36827014030332333 0.35778342916796896 0.34605389317692292 0.33322460289179967 0.31944800552235225 0.30488292696051716 0.28969155276148273 0.27403646739702842 0.25807782590323769 0.24197072451914337 0.22586282746712449 0.20989229612472426 0.19418605498321295 0.17885841649454054 0.16401007467599363 0.14972746563574488 0.13608248241227811 0.12313252202584955 0.11092083467945554 9.9477138792748679E-2 8.8818461090591855E-2 7.8950158300894149E-2 6.9867076070915177E-2 6.1554801349347273E-2 5.3990966513188063E-2 4.7146566715871571E-2 4.0987256045222194E-2 3.5474592846231424E-2 3.0567209727885489E-2 2.6221889093709483E-2 2.2394530294842899E-2 1.9040999515650261E-2 1.6117858113648992E-2 1.3582969233685613E-2 1.1395986023797442E-2 9.5187276553371902E-3 7.9154515829799686E-3 6.5530320890135217E-3 5.4010561811943802E-3 4.4318484119380075E-3 3.6204362280192869E-3 2.9444671203833592E-3 2.3840882014648404E-3 1.9217979693520089E-3 1.5422789962911052E-3 1.2322191684730199E-3 9.8012796127537193E-4 7.7615310620890888E-4 6.119019301137719E-4 4.802706516208207E-4 3.7528402371763E-4 2.9194692579146027E-4 2.261088384036847E-4 1.7434157841536343E-4 1.3383022576488537E-4 1.0227682788078474E-4 7.7816212980367556E-5 5.8943067756539855E-5 4.4449326168775807E-5 3.3370862395638422E-5 2.4942471290053535E-5 1.8560143689217814E-5 1.3749692623443371E-5 1.0140852065486758E-5 7.4460458706299902E-6 5.4431057208800876E-6 3.9612990910320753E-6 2.87010840988 54503E-6 2.0702784929206175E-6 1.4867195147342977E-6

Sampling Distribution of Sample Means

-5.333333333333333 -5.2666666666666666 -5.2 -5.1333333333333337 -5.0666666666666664 -5 -4.9333333333333336 -4.8666666666666663 -4.8 -4.7333333333333334 -4.666666666666667 -4.5999999999999996 -4.5333333333333332 -4.4666666666666668 -4.4000000000000004 -4.333333333333333 -4.2666666666666666 -4.2 -4.1333333333333337 -4.0666666666666664 -4 -3.9333333333333331 -3.8666666666666667 -3.8 -3.7333333333333334 -3.6666666666666665 -3.6 -3.5333333333333332 -3.4666666666666668 -3.4 -3.3333333333333335 -3.2666666666666666 -3.2 -3.1333333333333333 -3.0666666666666669 -3 -2.9333333333333331 -2.8666666666666667 -2.8 -2.7333333333333334 -2.6666666666666665 -2.6 -2.5333333333333332 -2.4666666666666668 -2.4 -2.3333333333333335 -2.2666666666666666 -2.2000000000000002 -2.1333333333333333 -2.0666666666666669 -2 -1.9333333333333333 -1.8666666666666667 -1.8 -1.7333333333333334 -1.6666666666666667 -1.6 -1.5333333333333334 -1.4666666666666666 -1.4 -1.3333333333333333 -1.2666666666666666 -1.2 -1.1333333333333333 -1.0666666666666667 -1 -0.93333333333333335 -0.8666666666666667 -0.8 -0.73333333333333328 -0.66666666666666663 -0.6 -0.53333333333333333 -0.46666666666666667 -0.4 -0.33333333333333331 -0.26666666666666666 -0.2 -0.13333333333333333 -6.6666666666666666E-2 0 6.6666666666666666E-2 0.13333333333333333 0.2 0.26666666666666666 0.33333333333333331 0.4 0.46666666666666667 0.53333333333333333 0.6 0.66666666666666663 0.73333333333333328 0.8 0.8666666666666667 0.93333333333333335 1 1.0666666666666667 1.1333333333333333 1.2 1.2666666666666666 1.3333333333333333 1.4 1.4666666666666666 1.5333333333333334 1.6 1.6666666666666667 1.7333333333333334 1.8 1.8666666666666667 1.9333333333333333 2 2.0666666666666669 2.1333333333333333 2.2000000000000002 2.2666666666666666 2.3333333333333335 2.4 2.4666666666666668 2.5333333333333332 2.6 2.6666666666666665 2.7333333333333334 2.8 2.8666666666666667 2.9333333333333331 3 3.0666666666666669 3.1333333333333333 3.2 3.2666666666666666 3.3333333333333335 3.4 3.4666666666666668 3.5333333333333332 3.6 3.6666666666666665 3.7333333333333334 3.8 3.8666666666666667 3.9333333333333331 4 4.0666666666666664 4.1333333333333337 4.2 4.2666666666666666 4.333333333333333 4.4000000000000004 4.4666666666666668 4.5333333333333332 4.5999999999999996 4.666666666666667 4.7333333333333334 4.8 4.8666666666666663 4.9333333333333336 5 2.656301908521912 5E-7 3.7820577085732377E-7 5.3610353446976145E-7 7.5655236292768083E-7 1.0629164194304422E-6 1.4867195147342977E-6 2.0702784929206175E-6 2.8701084098854503E-6 3.9612990910320753E-6 5.4431057208800876E-6 7.4460458706299902E-6 1.0140852065486758E-5 1.3749692623443371E-5 1.8560143689217814E-5 2.4942471290053535E-5 3.3370862395638422E-5 4.4449326168775807E-5 5.8943067756539855E-5 7.7816212980367556E-5 1.0227682788078474E-4 1.3383022576488537E-4 1.7434157841536343E-4 2.261088384036847E-4 2.9194692579146027E-4 3.7528402371763E-4 4.802706516208207E-4 6.119019301137719E-4 7.7615310620890888E-4 9.8012796127537193E-4 1.2322191684730199E-3 1.5422789962911052E-3 1.9217979693520089E-3 2.3840882014648404E-3 2.9444671203833592E-3 3.6204362280192869E-3 4.4318484119380075E-3 5.4010561811943802E-3 6.5530320890135217E-3 7.9154515829799686E-3 9.5187276553371902E-3 1.1395986023797442E-2 1.3582969233685613E-2 1.6117858113648992E-2 1.9040999515650261E-2 2.2394530294842899E-2 2.6221889093709483E-2 3.0567209727885489E-2 3.5474592846231424E-2 4.0987256045222194E-2 4.7146566715871571E-2 5.3990966513188063E-2 6.1554801349347273E-2 6.9867076070915177E-2 7.8950158300894149E-2 8.8818461090591855E-2 9.9477138792748679E-2 0.11092083467945554 0.12313252202584955 0.13608248241227811 0.14972746563574488 0.16401007467599363 0.17885841649454054 0.19418605498321295 0.20989229612472426 0.22586282746712449 0.24197072451914337 0.25807782590323769 0.27403646739702842 0.28969155276148273 0.30488292696051716 0.31944800552235225 0.33322460289179967 0.34605389317692292 0.35778342916796896 0.36827014030332333 0.37738322769299315 0.38500687459601396 0.3910426939 7545588 0.39541184088581771 0.39805672631395222 0.3989422804014327 0.39805672631395222 0.39541184088581771 0.39104269397545588 0.38500687459601396 0.37738322769299315 0.36827014030332333 0.35778342916796896 0.34605389317692292 0.33322460289179967 0.31944800552235225 0.30488292696051716 0.28969155276148273 0.27403646739702842 0.25807782590323769 0.24197072451914337 0.22586282746712449 0.20989229612472426 0.19418605498321295 0.17885841649454054 0.16401007467599363 0.14972746563574488 0.13608248241227811 0.12313252202584955 0.11092083467945554 9.9477138792748679E-2 8.8818461090591855E-2 7.8950158300894149E-2 6.9867076070915177E-2 6.1554801349347273E-2 5.3990966513188063E-2 4.7146566715871571E-2 4.0987256045222194E-2 3.5474592846231424E-2 3.0567209727885489E-2 2.6221889093709483E-2 2.2394530294842899E-2 1.9040999515650261E-2 1.6117858113648992E-2 1.3582969233685613E-2 1.1395986023797442E-2 9.5187276553371902E-3 7.9154515829799686E-3 6.5530320890135217E-3 5.4010561811943802E-3 4.4318484119380075E-3 3.6204362280192869E-3 2.9444671203833592E-3 2.3840882014648404E-3 1.9217979693520089E-3 1.5422789962911052E-3 1.2322191684730199E-3 9.8012796127537193E-4 7.7615310620890888E-4 6.119019301137719E-4 4.802706516208207E-4 3.7528402371763E-4 2.9194692579146027E-4 2.261088384036847E-4 1.7434157841536343E-4 1.3383022576488537E-4 1.0227682788078474E-4 7.7816212980367556E-5 5.8943067756539855E-5 4.4449326168775807E-5 3.3370862395638422E-5 2.4942471290053535E-5 1.8560143689217814E-5 1.3749692623443371E-5 1.0140852065486758E-5 7.4460458706299902E-6 5.4431057208800876E-6 3.9612990910320753E-6 2.87010840988 54503E-6 2.0702784929206175E-6 1.4867195147342977E-6

Case 1: A parameter of a population has a normal distribution.

=> The sampling distribution of its sample means is also normal.

Case 2: A parameter of a population has a non-normal or an unknown distribution.

In this case the Central Limit Theorem states:

The sampling distribution of sample means is normal, IF the sample size is > 30 (roughly, this is an empirical estimate).

Thus, for sample sizes >30:

Sample means have a normal distribution!

ALL sample means have a normal distribution, regardless of what is measured!

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

Standard error of the (sample) mean (SEM)

The standard error of the mean (SEM) is calculated from the population standard deviation σ and the sample size N, as follows:

The formula tells us:

The larger the variation in a sample the larger the standard error.

The larger the sample size the smaller the error. Thus, if you took samples of different sizes they would have a different SEM.

SEM is a lot smaller than the standard deviation s of a sample. However, for a sample size of 1, SEM=s, which makes sense, because in this case we just have an individual measurement.

Remember: SEM only estimates precision due to sampling distribution and other random errors. It makes no statement about bias or systematic (non-random) errors, which lead to inaccurate measurements!

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

Tip: In real life (but not in statistics exams) we’ll substitute σ with the sample standard deviation s or SD, because we don’t know σ.

Precision increases, standard error decreases with sample size

Sample size 1: Distribution of IQ among individuals in the population

Remember: the curve for the sample size of 20 for example doesn’t show the distribution of 20 individuals, but the distribution of averages (sampling distribution) from a lot of samples of 20.

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

IQ sampling distributions

for indicated sample sizes

"1" 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 1.0281859975274034E-4 2.9545656079586714E-4 7.597324015864961E-4 1.7481259395806324E-3 3.5993977675458709E-3 6.6318092528499118E-3 1.0934004978399576E-2 1.613138163460956E-2 2.129653370149015E-2 2.5158881846199542E-2 2.6596152026762181E-2 2.5158881846199542E-2 2.129653370149015E-2 1.613138163460956E-2 1.0934004978399576E-2 6.6318092528499118E-3 3.5993977675458709E-3 1.7481259395806324E-3 7.597324015864961E-4 2.9545656079586714E-4 1.0281859975274034E-4 "5" 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 5.1353281506875052E-14 1.0061852952688061E-11 1.1311312985622639E-9 7.2958074025837245E-8 2.6999703186963683E-6 5.7328411322273785E-5 6.9840302471032504E-4 4.881660853975494E-3 1.9577371613882316E-2 4.5047060090592769E-2 5.9470803871759043E-2 4.5047060090592769E-2 1.9577371613882316E-2 4.881660853975494E-3 6.9840302471032504E-4 5.7328411322273785E-5 2.6999703186963683E-6 7.2958074025837245E-8 1.1311312985622639E-9 1.0061852952688061E-11 5.1353281506875052E-14 "10" 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 6.2711557918795395E-26 2.4075045751570534E-21 3.042546525212453E-17 1.2657790708427292E-13 1.7335212458848021E-10 7.8153962569617912E-8 1.1599076481341498E-5 5.6669110683468999E-4 9.114229457940045E-3 4.8255197182764421E-2 8.410441740067201E-2 4.8255197182764421E-2 9.114229457940045E-3 5.6669110683468999E-4 1.1599076481341498E-5 7.8153962569617912E-8 1.7335212458848021E-10 1.2657790708427292E-13 3.042546525212453E-17 2.4075045751570534E-21 6.2711557918795395E-26 "20" 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 6.6128911004511603E-50 9.7460903536810152E-41 1.5565771362438511E-32 2.6940894554551288E-25 5.0530608538839448E-19 1.027065630137501E-13 2.2622625971245279E-9 5.3999406373927367E-6 1.3968060494206501E-3 3.9154743227764632E-2 0.11894160774351809 3.9154743227764632E-2 1.3968060494206501E-3 5.3999406373927367E-6 2.2622625971245279E-9 1.027065630137501E-13 5.0530608538839448E-19 2.6940894554551288E-25 1.5565771362438511E-32 9.7460903536810152E-41 6.6128911004511603E-50 "40" 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 5.1995281648641706E-98 1.1293851157615634E-79 2.8808622138530114E-63 8.6298891524533894E-49 3.0359194893907019E-36 1.2542311583759079E-25 6.0850930504249059E-17 3.4670424917696042E-10 2.3198152962682997E-5 1.822845891588009E-2 0.16820883480134402 1.822845891588009E-2 2.3198152962682997E-5 3.4670424917696042E-10 6.0850930504249059E-17 1.2542311583759079E-25 3.0359194893907019E-36 8.6298891524533894E-49 2.8808622138530114E-63 1.1293851157615634E-79 5.1995281648641706E-98

Determine the summary statistics (descriptive statistics) for your sample

Take a sample and measure the variable you care about. Calculate its summary statistics (sample mean , sample standard deviation s) and graph it to see how the numbers are spread out.

Apply statistical estimation theory

Next, estimate how close your sample mean comes to the unknown population mean μ, if your only errors were random sampling and measuring errors.

Calculate the standard error of the mean (SEM)

You know that different samples will create different means (“sampling distribution”).

You also know that the sampling distribution of means from a very large number of samples is a normal distribution, no matter the distribution of the variable for which the mean is calculated (at least for sample sizes ~ > 30 due to the Central Limit Theorem).

Plus, you know that the standard deviation of all of these theoretical sample means is called the standard error of the sample mean (SEM). According to its formula, it

depends on the population standard deviation σ and the sample size N.

Review of statistical estimation procedure up to now

Are you done yet?

Can you just publish your sample mean with a precision of +/- SEM?

Answer: No! There is a slight problem with that!

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

You know from the normal distribution’s empirical rule that a margin of +/- 1 standard error from the mean value only includes ~ 68% of all possible measured sample means.

The flipside of this is that there is a 32% chance that your sample mean is not included in these 68%. In these cases your mean +/- SEM does not cover the actual (true) population mean.

Statisticians say: The confidence interval defined by a margin of error of +/- 1 SEM will include the true population mean only 68% of the time. So if you measured 100 samples, 68 confidence intervals would encompass the true population mean, and 32 confidence intervals wouldn’t.

Statisticians phrase this as: The confidence level for the confidence interval defined by +/- 1 SEM is 68%.

Determine the confidence level for your result (the mean of variable +/- SEM)

Solution: Pick a higher confidence level and a larger “margin of error”.

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

Why the standard error of the mean is not sufficient – intro to confidence levels, confidence intervals, and margin of error

Note: The confidence level (C.L.) most often used in statistics is 95%.

What does a 95% confidence level really mean?

A hypothetical experiment using simulated samples

Motulsky: Essential Biostatistics, Figure 4.1, page 19

Dr. Doerre Data Analyses and Statistical Concepts in Biotechnology FSU Math 924

You have a bowl with 100 balls, 25 of them red, 75 of them black.

You draw 20 samples of 15 balls each and record the % red balls

(as probability p between 0 and 1).

You also calculate the confidence interval for a 95% confidence level.

The bar near the center of each column is the % red balls (as shown as p)

The bottom and top of the column represent the lower and upper limit of the confidence interval

The actual probability is p=0.25 or 25%. It is shown as a solid horizontal line.

A 95% confidence level means that 95 out of 100 samples drawn will include the true population mean and 5 will not. So your single sample has a 95% chance of including the true population mean.

Experiment: In a bowl of 100 balls, 25 are red and 75 are black. Pick 20 samples of 15 balls each and count the # of black and red balls.

Calculate the proportion of red balls and determine the confidence interval.

Note: This is an example of categorical variables. Up to now in class we have only talked about continuous (quantitative, “number”) variables, which are summarized as means.

Later on we will apply the same concepts to categorical variables. You will learn how to calculate the confidence intervals of proportions then.

How confident do you want to be in your result?

Confidence levels and confidence intervals & margins of error

Basic idea: Your error range (margin of error) depends on how confident you want to be in your results.

68% +/- 1 SEM

95% +/- 1.96 SEM

99.7% +/- 3 SEM

Confidence Level (CL)

- 1 SEM to + 1 SEM

- 1.96 SEM to + 1.96 SEM

- 2.58 SEM to + 2.58 SEM

- 3.0 SEM to + 3.0 SEM

(Probability Density)

1 σ or

1 SEM

SEM = Standard error of the mean

68%

95%

99%

99.7%

Trade-off: higher confidence means larger margin of error and wider confidence interval

99% +/- 2.58 SEM

95% C.L. slider

Confidence Interval (CI)

(+/- margin of error)

that the confidence interval for the sample mean includes the population mean

Use z-score table to find z for p, or p for z

68% C.L. slider

Dr. Doerre FSU Math 924

Remind students where the empirical rule comes from: from the z score table, probability = area under curve or integral from 0 to z.

The higher the confidence level you want (i.e. the probability that your sample mean includes the true population mean) the larger you have to make the margin of error to get to obtain that confidence level.

Sampling Distribution of Sample Means

-5.333333333333333 -5.2666666666666666 -5.2 -5.1333333333333337 -5.0666666666666664 -5 -4.9333333333333336 -4.8666666666666663 -4.8 -4.7333333333333334 -4.666666666666667 -4.5999999999999996 -4.5333333333333332 -4.4666666666666668 -4.4000000000000004 -4.333333333333333 -4.2666666666666666 -4.2 -4.1333333333333337 -4.0666666666666664 -4 -3.9333333333333331 -3.8666666666666667 -3.8 -3.7333333333333334 -3.6666666666666665 -3.6 -3.5333333333333332 -3.4666666666666668 -3.4 -3.3333333333333335 -3.2666666666666666 -3.2 -3.1333333333333333 -3.0666666666666669 -3 -2.9333333333333331 -2.8666666666666667 -2.8 -2.7333333333333334 -2.6666666666666665 -2.6 -2.5333333333333332 -2.4666666666666668 -2.4 -2.3333333333333335 -2.2666666666666666 -2.2000000000000002 -2.1333333333333333 -2.0666666666666669 -2 -1.9333333333333333 -1.8666666666666667 -1.8 -1.7333333333333334 -1.6666666666666667 -1.6 -1.5333333333333334 -1.4666666666666666 -1.4 -1.3333333333333333 -1.2666666666666666 -1.2 -1.1333333333333333 -1.0666666666666667 -1 -0.93333333333333335 -0.8666666666666667 -0.8 -0.73333333333333328 -0.66666666666666663 -0.6 -0.53333333333333333 -0.46666666666666667 -0.4 -0.33333333333333331 -0.26666666666666666 -0.2 -0.13333333333333333 -6.6666666666666666E-2 0 6.6666666666666666E-2 0.13333333333333333 0.2 0.26666666666666666 0.33333333333333331 0.4 0.46666666666666667 0.53333333333333333 0.6 0.66666666666666663 0.73333333333333328 0.8 0.8666666666666667 0.93333333333333335 1 1.0666666666666667 1.1333333333333333 1.2 1.2666666666666666 1.3333333333333333 1.4 1.4666666666666666 1.5333333333333334 1.6 1.6666666666666667 1.7333333333333334 1.8 1.8666666666666667 1.9333333333333333 2 2.0666666666666669 2.1333333333333333 2.2000000000000002 2.2666666666666666 2.3333333333333335 2.4 2.4666666666666668 2.5333333333333332 2.6 2.6666666666666665 2.7333333333333334 2.8 2.8666666666666667 2.9333333333333331 3 3.0666666666666669 3.1333333333333333 3.2 3.2666666666666666 3.3333333333333335 3.4 3.4666666666666668 3.5333333333333332 3.6 3.6666666666666665 3.7333333333333334 3.8 3.8666666666666667 3.9333333333333331 4 4.0666666666666664 4.1333333333333337 4.2 4.2666666666666666 4.333333333333333 4.4000000000000004 4.4666666666666668 4.5333333333333332 4.5999999999999996 4.666666666666667 4.7333333333333334 4.8 4.8666666666666663 4.9333333333333336 5 2.6 563019085219125E-7 3.7820577085732377E-7 5.3610353446976145E-7 7.5655236292768083E-7 1.0629164194304422E-6 1.4867195147342977E-6 2.0702784929206175E-6 2.8701084098854503E-6 3.9612990910320753E-6 5.4431057208800876E-6 7.4460458706299902E-6 1.0140852065486758E-5 1.3749692623443371E-5 1.8560143689217814E-5 2.4942471290053535E-5 3.3370862395638422E-5 4.4449326168775807E-5 5.8943067756539855E-5 7.7816212980367556E-5 1.0227682788078474E-4 1.3383022576488537E-4 1.7434157841536343E-4 2.261088384036847E-4 2.9194692579146027E-4 3.7528402371763E-4 4.802706516208207E-4 6.119019301137719E-4 7.7615310620890888E-4 9.8012796127537193E-4 1.2322191684730199E-3 1.5422789962911052E-3 1.9217979693520089E-3 2.3840882014648404E-3 2.9444671203833592E-3 3.6204362280192869E-3 4.4318484119380075E-3 5.4010561811943802E-3 6.5530320890135217E-3 7.915451582979 9686E-3 9.5187276553371902E-3 1.1395986023797442E-2 1.3582969233685613E-2 1.6117858113648992E-2 1.9040999515650261E-2 2.2394530294842899E-2 2.6221889093709483E-2 3.0567209727885489E-2 3.5474592846231424E-2 4.0987256045222194E-2 4.7146566715871571E-2 5.3990966513188063E-2 6.1554801349347273E-2 6.9867076070915177E-2 7.8950158300894149E-2 8.8818461090591855E-2 9.9477138792748679E-2 0.11092083467945554 0.12313252202584955 0.13608248241227811 0.14972746563574488 0.16401007467599363 0.17885841649454054 0.19418605498321295 0.20989229612472426 0.22586282746712449 0.24197072451914337 0.25807782590323769 0.27403646739702842 0.28969155276148273 0.30488292696051716 0.31944800552235225 0.33322460289179967 0.34605389317692292 0.35778342916796896 0.36827014030332333 0.37738322769299315 0.38500687459601396 0.39104269397545588 0.39541184088581771 0.39805672631395222 0.3989422804014327 0.39805672631395222 0.39541184088581771 0.39104269397545588 0.38500687459601396 0.37738322769299315 0.36827014030332333 0.35778342916796896 0.34605389317692292 0.33322460289179967 0.31944800552235225 0.30488292696051716 0.28969155276148273 0.27403646739702842 0.25807782590323769 0.24197072451914337 0.22586282746712449 0.20989229612472426 0.19418605498321295 0.17885841649454054 0.16401007467599363 0.14972746563574488 0.13608248241227811 0.12313252202584955 0.11092083467945554 9.9477138792748679E-2 8.8818461090591855E-2 7.8950158300894149E-2 6.9867076070915177E-2 6.1554801349347273E-2 5.3990966513188063E-2 4.7146566715871571E-2 4.0987256045222194E-2 3.5474592846231424E-2 3.0567209727885489E-2 2.6221889093709483E-2 2.2394530294842899E-2 1.9040999515650261E-2 1.6117858113648992E-2 1.3582969233685613E-2 1.1395986023797442E-2 9.5187276553371902E-3 7.9154515829799686E-3 6.5530320890135217E-3 5.4010561811943802E-3 4.4318484119380075E-3 3.6204362280192869E-3 2.9444671203833592E-3 2.3840882014648404E-3 1.9217979693520089E-3 1.5422789962911052E-3 1.2322191684730199E-3 9.8012796127537193E-4 7.7615310620890888E-4 6.119019301137719E-4 4.802706516208207E-4 3.7528402371763E-4 2.9194692579146027E-4 2.261088384036847E-4 1.7434157841536343E-4 1.3383022576488537E-4 1.0227682788078474E-4 7.7816212980367556E-5 5.8943067756539855E-5 4.4449326168775807E-5 3.3370862395638422E-5 2.4942471290053535E-5 1.8560143689217814E-5 1.3749692623443371E-5 1.0140852065486758E-5 7.4460458706299902E-6 5.4431057208800876E-6 3.9612990910320753E-6 2.8701084098854503E-6 2.0702784929206175E-6 1.4867195147342977E-6

Sampling Distribution of Sample Means

-5.333333333333333 -5.2666666666666666 -5.2 -5.1333333333333337 -5.0666666666666664 -5 -4.9333333333333336 -4.8666666666666663 -4.8 -4.7333333333333334 -4.666666666666667 -4.5999999999999996 -4.5333333333333332 -4.4666666666666668 -4.4000000000000004 -4.333333333333333 -4.2666666666666666 -4.2 -4.1333333333333337 -4.0666666666666664 -4 -3.9333333333333331 -3.8666666666666667 -3.8 -3.7333333333333334 -3.6666666666666665 -3.6 -3.5333333333333332 -3.4666666666666668 -3.4 -3.3333333333333335 -3.2666666666666666 -3.2 -3.1333333333333333 -3.0666666666666669 -3 -2.9333333333333331 -2.8666666666666667 -2.8 -2.7333333333333334 -2.6666666666666665 -2.6 -2.5333333333333332 -2.4666666666666668 -2.4 -2.3333333333333335 -2.2666666666666666 -2.2000000000000002 -2.1333333333333333 -2.0666666666666669 -2 -1.9333333333333333 -1.8666666666666667 -1.8 -1.7333333333333334 -1.6666666666666667 -1.6 -1.5333333333333334 -1.4666666666666666 -1.4 -1.3333333333333333 -1.2666666666666666 -1.2 -1.1333333333333333 -1.0666666666666667 -1 -0.93333333333333335 -0.8666666666666667 -0.8 -0.73333333333333328 -0.66666666666666663 -0.6 -0.53333333333333333 -0.46666666666666667 -0.4 -0.33333333333333331 -0.26666666666666666 -0.2 -0.13333333333333333 -6.6666666666666666E-2 0 6.6666666666666666E-2 0.13333333333333333 0.2 0.26666666666666666 0.33333333333333331 0.4 0.46666666666666667 0.53333333333333333 0.6 0.66666666666666663 0.73333333333333328 0.8 0.8666666666666667 0.93333333333333335 1 1.0666666666666667 1.1333333333333333 1.2 1.2666666666666666 1.3333333333333333 1.4 1.4666666666666666 1.5333333333333334 1.6 1.6666666666666667 1.7333333333333334 1.8 1.8666666666666667 1.9333333333333333 2 2.0666666666666669 2.1333333333333333 2.2000000000000002 2.2666666666666666 2.3333333333333335 2.4 2.4666666666666668 2.5333333333333332 2.6 2.6666666666666665 2.7333333333333334 2.8 2.8666666666666667 2.9333333333333331 3 3.0666666666666669 3.1333333333333333 3.2 3.2666666666666666 3.3333333333333335 3.4 3.4666666666666668 3.5333333333333332 3.6 3.6666666666666665 3.7333333333333334 3.8 3.8666666666666667 3.9333333333333331 4 4.0666666666666664 4.1333333333333337 4.2 4.2666666666666666 4.333333333333333 4.4000000000000004 4.4666666666666668 4.5333333333333332 4.5999999999999996 4.666666666666667 4.7333333333333334 4.8 4.8666666666666663 4.9333333333333336 5 2.6 563019085219125E-7 3.7820577085732377E-7 5.3610353446976145E-7 7.5655236292768083E-7 1.0629164194304422E-6 1.4867195147342977E-6 2.0702784929206175E-6 2.8701084098854503E-6 3.9612990910320753E-6 5.4431057208800876E-6 7.4460458706299902E-6 1.0140852065486758E-5 1.3749692623443371E-5 1.8560143689217814E-5 2.4942471290053535E-5 3.3370862395638422E-5 4.4449326168775807E-5 5.8943067756539855E-5 7.7816212980367556E-5 1.0227682788078474E-4 1.3383022576488537E-4 1.7434157841536343E-4 2.261088384036847E-4 2.9194692579146027E-4 3.7528402371763E-4 4.802706516208207E-4 6.119019301137719E-4 7.7615310620890888E-4 9.8012796127537193E-4 1.2322191684730199E-3 1.5422789962911052E-3 1.9217979693520089E-3 2.3840882014648404E-3 2.9444671203833592E-3 3.6204362280192869E-3 4.4318484119380075E-3 5.4010561811943802E-3 6.5530320890135217E-3 7.915451582979 9686E-3 9.5187276553371902E-3 1.1395986023797442E-2 1.3582969233685613E-2 1.6117858113648992E-2 1.9040999515650261E-2 2.2394530294842899E-2 2.6221889093709483E-2 3.0567209727885489E-2 3.5474592846231424E-2 4.0987256045222194E-2 4.7146566715871571E-2 5.3990966513188063E-2 6.1554801349347273E-2 6.9867076070915177E-2 7.8950158300894149E-2 8.8818461090591855E-2 9.9477138792748679E-2 0.11092083467945554 0.12313252202584955 0.13608248241227811 0.14972746563574488 0.16401007467599363 0.17885841649454054 0.19418605498321295 0.20989229612472426 0.22586282746712449 0.24197072451914337 0.25807782590323769 0.27403646739702842 0.28969155276148273 0.30488292696051716 0.31944800552235225 0.33322460289179967 0.34605389317692292 0.35778342916796896 0.36827014030332333 0.37738322769299315 0.38500687459601396 0.39104269397545588 0.39541184088581771 0.39805672631395222 0.3989422804014327 0.39805672631395222 0.39541184088581771 0.39104269397545588 0.38500687459601396 0.37738322769299315 0.36827014030332333 0.35778342916796896 0.34605389317692292 0.33322460289179967 0.31944800552235225 0.30488292696051716 0.28969155276148273 0.27403646739702842 0.25807782590323769 0.24197072451914337 0.22586282746712449 0.20989229612472426 0.19418605498321295 0.17885841649454054 0.16401007467599363 0.14972746563574488 0.13608248241227811 0.12313252202584955 0.11092083467945554 9.9477138792748679E-2 8.8818461090591855E-2 7.8950158300894149E-2 6.9867076070915177E-2 6.1554801349347273E-2 5.3990966513188063E-2 4.7146566715871571E-2 4.0987256045222194E-2 3.5474592846231424E-2 3.0567209727885489E-2 2.6221889093709483E-2 2.2394530294842899E-2 1.9040999515650261E-2 1.6117858113648992E-2 1.3582969233685613E-2 1.1395986023797442E-2 9.5187276553371902E-3 7.9154515829799686E-3 6.5530320890135217E-3 5.4010561811943802E-3 4.4318484119380075E-3 3.6204362280192869E-3 2.9444671203833592E-3 2.3840882014648404E-3 1.9217979693520089E-3 1.5422789962911052E-3 1.2322191684730199E-3 9.8012796127537193E-4 7.7615310620890888E-4 6.119019301137719E-4 4.802706516208207E-4 3.7528402371763E-4 2.9194692579146027E-4 2.261088384036847E-4 1.7434157841536343E-4 1.3383022576488537E-4 1.0227682788078474E-4 7.7816212980367556E-5 5.8943067756539855E-5 4.4449326168775807E-5 3.3370862395638422E-5 2.4942471290053535E-5 1.8560143689217814E-5 1.3749692623443371E-5 1.0140852065486758E-5 7.4460458706299902E-6 5.4431057208800876E-6 3.9612990910320753E-6 2.8701084098854503E-6 2.0702784929206175E-6 1.4867195147342977E-6

MOE is calculated as follows: MOE = z* x SEM

(with z* being the critical value for a given confidence level)

Some definitions and lingo

Confidence Interval (C.I.): ranges from lower to upper confidence limit

The distance of the confidence limits to the mean value is called the margin of error (MOE)

Therefore: Lower confidence limit: CLL = - MOE = - z* x SEM

Upper confidence limit: CLU = + MOE = + z* x SEM

Or, C.I. = -/+ MOE = -/+ z* x SEM for any given confidence level defined by z*.

Example:

Study of 25 diabetics finds average fasting glucose of 130 mg/dL with SD +/- 40 mg/dL

Standard error of the mean = = 40:5 = 8 mg/dL.

For a 95% confidence level, z* is 1.96 (from z table).

Margin of error MOE= +/- z* x SEM = 1.96 x 8 =~ 16 mg/dL

Lower confidence limit CLL = - MOE = 130 – 16 = 114 mg/dL

Upper confidence limit CLU = - MOE = 130 + 16 = 146 mg/dL

Report result as follows: mean glucose = 130 mg/dL; 95% C.I. = 114 -146 mg/dL.

Practical exercise: finding the confidence interval for a given confidence level

That is, finding the critical value z* from the z table (requires some logic)

% of area enclosed (a.en.)	% of area excluded =100-a.en.	For one tail (1) (half the area) =100-a.en./2		z–score	Critical value z*
(= confidence level)	for both tails	in %	as p- value %/100	from table or calculator	for % confidence level (1)
99	1	0.5	0.005	-2.575	+2.575
95	5	2.5	0.025	-1.96	+1.96
90	10	5	0.05	-1.645	+1.645
80	20	10	0.1	-1.28	+1.28
68.2	31.8	15.9	0.159	-1	+1

This task is sort of the reverse of finding the probability for a given z-score from the z table.

Now we are choosing the probability (confidence level) and need to find the z-score from the table that marks the corresponding confidence interval.

That z-score is called the critical value for the confidence level, often denoted z*, sometimes k.

Procedure of finding the critical value z*

(1) The z-score table shows probabilities to the left of z (“left tail”). Therefore the z-score from the table or a calculator will be negative. The critical value z* is the positive counterpart, since the confidence interval is defined as ranging from -z*σ to +z*σ.

Note that some calculators directly calculate z* for a given p, so they show the positive value.

% of area

Probability p

95%

2.5%

0.95

0.025

(Probability Density)

1σ (z=1)

-z*σ

+z*σ

Confidence interval for

confidence level of 95%

left tail

right tail

(1) Since the z table shows p values for the probability to the left of z (integral from - ∞ to z) we need to find the z value for the left tail. (The z value on the left boundary of the right tail would include the left tail and the middle section. It would EXCLUDE the right tail.) Once we find the z value for the left tail, it is customary to multiply it by -1, i.e. display it as a positive value, since we want the confidence interval to range from a lower to a higher value. Thus z* should be positive. - z* x SEM to + z* x SEM.

(2) The z-score here is not used to standardize a measured value but to find the confidence level corresponding to it. Therefore, it is called the critical value z*.

Sampling Distribution of Sample Means

-5.333333333333333 -5.2666666666666666 -5.2 -5.1333333333333337 -5.0666666666666664 -5 -4.9333333333333336 -4.8666666666666663 -4.8 -4.7333333333333334 -4.666666666666667 -4.5999999999999996 -4.5333333333333332 -4.4666666666666668 -4.4000000000000004 -4.333333333333333 -4.2666666666666666 -4.2 -4.1333333333333337 -4.0666666666666664 -4 -3.9333333333333331 -3.8666666666666667 -3.8 -3.7333333333333334 -3.6666666666666665 -3.6 -3.5333333333333332 -3.4666666666666668 -3.4 -3.3333333333333335 -3.2666666666666666 -3.2 -3.1333333333333333 -3.0666666666666669 -3 -2.9333333333333331 -2.8666666666666667 -2.8 -2.7333333333333334 -2.6666666666666665 -2.6 -2.5333333333333332 -2.4666666666666668 -2.4 -2.3333333333333335 -2.2666666666666666 -2.2000000000000002 -2.1333333333333333 -2.0666666666666669 -2 -1.9333333333333333 -1.8666666666666667 -1.8 -1.7333333333333334 -1.6666666666666667 -1.6 -1.5333333333333334 -1.4666666666666666 -1.4 -1.3333333333333333 -1.2666666666666666 -1.2 -1.1333333333333333 -1.0666666666666667 -1 -0.93333333333333335 -0.8666666666666667 -0.8 -0.73333333333333328 -0.66666666666666663 -0.6 -0.53333333333333333 -0.46666666666666667 -0.4 -0.33333333333333331 -0.26666666666666666 -0.2 -0.13333333333333333 -6.6666666666666666E-2 0 6.6666666666666666E-2 0.13333333333333333 0.2 0.26666666666666666 0.33333333333333331 0.4 0.46666666666666667 0.53333333333333333 0.6 0.66666666666666663 0.73333333333333328 0.8 0.8666666666666667 0.93333333333333335 1 1.0666666666666667 1.1333333333333333 1.2 1.2666666666666666 1.3333333333333333 1.4 1.4666666666666666 1.5333333333333334 1.6 1.6666666666666667 1.7333333333333334 1.8 1.8666666666666667 1.9333333333333333 2 2.0666666666666669 2.1333333333333333 2.2000000000000002 2.2666666666666666 2.3333333333333335 2.4 2.4666666666666668 2.5333333333333332 2.6 2.6666666666666665 2.7333333333333334 2.8 2.8666666666666667 2.9333333333333331 3 3.0666666666666669 3.1333333333333333 3.2 3.2666666666666666 3.3333333333333335 3.4 3.4666666666666668 3.5333333333333332 3.6 3.6666666666666665 3.7333333333333334 3.8 3.8666666666666667 3.9333333333333331 4 4.0666666666666664 4.1333333333333337 4.2 4.2666666666666666 4.333333333333333 4.4000000000000004 4.4666666666666668 4.5333333333333332 4.5999999999999996 4.666666666666667 4.7333333333333334 4.8 4.8666666666666663 4.9333333333333336 5 2.6 563019085219125E-7 3.7820577085732377E-7 5.3610353446976145E-7 7.5655236292768083E-7 1.0629164194304422E-6 1.4867195147342977E-6 2.0702784929206175E-6 2.8701084098854503E-6 3.9612990910320753E-6 5.4431057208800876E-6 7.4460458706299902E-6 1.0140852065486758E-5 1.3749692623443371E-5 1.8560143689217814E-5 2.4942471290053535E-5 3.3370862395638422E-5 4.4449326168775807E-5 5.8943067756539855E-5 7.7816212980367556E-5 1.0227682788078474E-4 1.3383022576488537E-4 1.7434157841536343E-4 2.261088384036847E-4 2.9194692579146027E-4 3.7528402371763E-4 4.802706516208207E-4 6.119019301137719E-4 7.7615310620890888E-4 9.8012796127537193E-4 1.2322191684730199E-3 1.5422789962911052E-3 1.9217979693520089E-3 2.3840882014648404E-3 2.9444671203833592E-3 3.6204362280192869E-3 4.4318484119380075E-3 5.4010561811943802E-3 6.5530320890135217E-3 7.915451582979 9686E-3 9.5187276553371902E-3 1.1395986023797442E-2 1.3582969233685613E-2 1.6117858113648992E-2 1.9040999515650261E-2 2.2394530294842899E-2 2.6221889093709483E-2 3.0567209727885489E-2 3.5474592846231424E-2 4.0987256045222194E-2 4.7146566715871571E-2 5.3990966513188063E-2 6.1554801349347273E-2 6.9867076070915177E-2 7.8950158300894149E-2 8.8818461090591855E-2 9.9477138792748679E-2 0.11092083467945554 0.12313252202584955 0.13608248241227811 0.14972746563574488 0.16401007467599363 0.17885841649454054 0.19418605498321295 0.20989229612472426 0.22586282746712449 0.24197072451914337 0.25807782590323769 0.27403646739702842 0.28969155276148273 0.30488292696051716 0.31944800552235225 0.33322460289179967 0.34605389317692292 0.35778342916796896 0.36827014030332333 0.37738322769299315 0.38500687459601396 0.39104269397545588 0.39541184088581771 0.39805672631395222 0.3989422804014327 0.39805672631395222 0.39541184088581771 0.39104269397545588 0.38500687459601396 0.37738322769299315 0.36827014030332333 0.35778342916796896 0.34605389317692292 0.33322460289179967 0.31944800552235225 0.30488292696051716 0.28969155276148273 0.27403646739702842 0.25807782590323769 0.24197072451914337 0.22586282746712449 0.20989229612472426 0.19418605498321295 0.17885841649454054 0.16401007467599363 0.14972746563574488 0.13608248241227811 0.12313252202584955 0.11092083467945554 9.9477138792748679E-2 8.8818461090591855E-2 7.8950158300894149E-2 6.9867076070915177E-2 6.1554801349347273E-2 5.3990966513188063E-2 4.7146566715871571E-2 4.0987256045222194E-2 3.5474592846231424E-2 3.0567209727885489E-2 2.6221889093709483E-2 2.2394530294842899E-2 1.9040999515650261E-2 1.6117858113648992E-2 1.3582969233685613E-2 1.1395986023797442E-2 9.5187276553371902E-3 7.9154515829799686E-3 6.5530320890135217E-3 5.4010561811943802E-3 4.4318484119380075E-3 3.6204362280192869E-3 2.9444671203833592E-3 2.3840882014648404E-3 1.9217979693520089E-3 1.5422789962911052E-3 1.2322191684730199E-3 9.8012796127537193E-4 7.7615310620890888E-4 6.119019301137719E-4 4.802706516208207E-4 3.7528402371763E-4 2.9194692579146027E-4 2.261088384036847E-4 1.7434157841536343E-4 1.3383022576488537E-4 1.0227682788078474E-4 7.7816212980367556E-5 5.8943067756539855E-5 4.4449326168775807E-5 3.3370862395638422E-5 2.4942471290053535E-5 1.8560143689217814E-5 1.3749692623443371E-5 1.0140852065486758E-5 7.4460458706299902E-6 5.4431057208800876E-6 3.9612990910320753E-6 2.8701084098854503E-6 2.0702784929206175E-6 1.4867195147342977E-6

Sampling Distribution of Sample Means

-5.333333333333333 -5.2666666666666666 -5.2 -5.1333333333333337 -5.0666666666666664 -5 -4.9333333333333336 -4.8666666666666663 -4.8 -4.7333333333333334 -4.666666666666667 -4.5999999999999996 -4.5333333333333332 -4.4666666666666668 -4.4000000000000004 -4.333333333333333 -4.2666666666666666 -4.2 -4.1333333333333337 -4.0666666666666664 -4 -3.9333333333333331 -3.8666666666666667 -3.8 -3.7333333333333334 -3.6666666666666665 -3.6 -3.5333333333333332 -3.4666666666666668 -3.4 -3.3333333333333335 -3.2666666666666666 -3.2 -3.1333333333333333 -3.0666666666666669 -3 -2.9333333333333331 -2.8666666666666667 -2.8 -2.7333333333333334 -2.6666666666666665 -2.6 -2.5333333333333332 -2.4666666666666668 -2.4 -2.3333333333333335 -2.2666666666666666 -2.2000000000000002 -2.1333333333333333 -2.0666666666666669 -2 -1.9333333333333333 -1.8666666666666667 -1.8 -1.7333333333333334 -1.6666666666666667 -1.6 -1.5333333333333334 -1.4666666666666666 -1.4 -1.3333333333333333 -1.2666666666666666 -1.2 -1.1333333333333333 -1.0666666666666667 -1 -0.93333333333333335 -0.8666666666666667 -0.8 -0.73333333333333328 -0.66666666666666663 -0.6 -0.53333333333333333 -0.46666666666666667 -0.4 -0.33333333333333331 -0.26666666666666666 -0.2 -0.13333333333333333 -6.6666666666666666E-2 0 6.6666666666666666E-2 0.13333333333333333 0.2 0.26666666666666666 0.33333333333333331 0.4 0.46666666666666667 0.53333333333333333 0.6 0.66666666666666663 0.73333333333333328 0.8 0.8666666666666667 0.93333333333333335 1 1.0666666666666667 1.1333333333333333 1.2 1.2666666666666666 1.3333333333333333 1.4 1.4666666666666666 1.5333333333333334 1.6 1.6666666666666667 1.7333333333333334 1.8 1.8666666666666667 1.9333333333333333 2 2.0666666666666669 2.1333333333333333 2.2000000000000002 2.2666666666666666 2.3333333333333335 2.4 2.4666666666666668 2.5333333333333332 2.6 2.6666666666666665 2.7333333333333334 2.8 2.8666666666666667 2.9333333333333331 3 3.0666666666666669 3.1333333333333333 3.2 3.2666666666666666 3.3333333333333335 3.4 3.4666666666666668 3.5333333333333332 3.6 3.6666666666666665 3.7333333333333334 3.8 3.8666666666666667 3.9333333333333331 4 4.0666666666666664 4.1333333333333337 4.2 4.2666666666666666 4.333333333333333 4.4000000000000004 4.4666666666666668 4.5333333333333332 4.5999999999999996 4.666666666666667 4.7333333333333334 4.8 4.8666666666666663 4.9333333333333336 5 2.6 563019085219125E-7 3.7820577085732377E-7 5.3610353446976145E-7 7.5655236292768083E-7 1.0629164194304422E-6 1.4867195147342977E-6 2.0702784929206175E-6 2.8701084098854503E-6 3.9612990910320753E-6 5.4431057208800876E-6 7.4460458706299902E-6 1.0140852065486758E-5 1.3749692623443371E-5 1.8560143689217814E-5 2.4942471290053535E-5 3.3370862395638422E-5 4.4449326168775807E-5 5.8943067756539855E-5 7.7816212980367556E-5 1.0227682788078474E-4 1.3383022576488537E-4 1.7434157841536343E-4 2.261088384036847E-4 2.9194692579146027E-4 3.7528402371763E-4 4.802706516208207E-4 6.119019301137719E-4 7.7615310620890888E-4 9.8012796127537193E-4 1.2322191684730199E-3 1.5422789962911052E-3 1.9217979693520089E-3 2.3840882014648404E-3 2.9444671203833592E-3 3.6204362280192869E-3 4.4318484119380075E-3 5.4010561811943802E-3 6.5530320890135217E-3 7.915451582979 9686E-3 9.5187276553371902E-3 1.1395986023797442E-2 1.3582969233685613E-2 1.6117858113648992E-2 1.9040999515650261E-2 2.2394530294842899E-2 2.6221889093709483E-2 3.0567209727885489E-2 3.5474592846231424E-2 4.0987256045222194E-2 4.7146566715871571E-2 5.3990966513188063E-2 6.1554801349347273E-2 6.9867076070915177E-2 7.8950158300894149E-2 8.8818461090591855E-2 9.9477138792748679E-2 0.11092083467945554 0.12313252202584955 0.13608248241227811 0.14972746563574488 0.16401007467599363 0.17885841649454054 0.19418605498321295 0.20989229612472426 0.22586282746712449 0.24197072451914337 0.25807782590323769 0.27403646739702842 0.28969155276148273 0.30488292696051716 0.31944800552235225 0.33322460289179967 0.34605389317692292 0.35778342916796896 0.36827014030332333 0.37738322769299315 0.38500687459601396 0.39104269397545588 0.39541184088581771 0.39805672631395222 0.3989422804014327 0.39805672631395222 0.39541184088581771 0.39104269397545588 0.38500687459601396 0.37738322769299315 0.36827014030332333 0.35778342916796896 0.34605389317692292 0.33322460289179967 0.31944800552235225 0.30488292696051716 0.28969155276148273 0.27403646739702842 0.25807782590323769 0.24197072451914337 0.22586282746712449 0.20989229612472426 0.19418605498321295 0.17885841649454054 0.16401007467599363 0.14972746563574488 0.13608248241227811 0.12313252202584955 0.11092083467945554 9.9477138792748679E-2 8.8818461090591855E-2 7.8950158300894149E-2 6.9867076070915177E-2 6.1554801349347273E-2 5.3990966513188063E-2 4.7146566715871571E-2 4.0987256045222194E-2 3.5474592846231424E-2 3.0567209727885489E-2 2.6221889093709483E-2 2.2394530294842899E-2 1.9040999515650261E-2 1.6117858113648992E-2 1.3582969233685613E-2 1.1395986023797442E-2 9.5187276553371902E-3 7.9154515829799686E-3 6.5530320890135217E-3 5.4010561811943802E-3 4.4318484119380075E-3 3.6204362280192869E-3 2.9444671203833592E-3 2.3840882014648404E-3 1.9217979693520089E-3 1.5422789962911052E-3 1.2322191684730199E-3 9.8012796127537193E-4 7.7615310620890888E-4 6.119019301137719E-4 4.802706516208207E-4 3.7528402371763E-4 2.9194692579146027E-4 2.261088384036847E-4 1.7434157841536343E-4 1.3383022576488537E-4 1.0227682788078474E-4 7.7816212980367556E-5 5.8943067756539855E-5 4.4449326168775807E-5 3.3370862395638422E-5 2.4942471290053535E-5 1.8560143689217814E-5 1.3749692623443371E-5 1.0140852065486758E-5 7.4460458706299902E-6 5.4431057208800876E-6 3.9612990910320753E-6 2.8701084098854503E-6 2.0702784929206175E-6 1.4867195147342977E-6